Questão 28. Qual é a concentração de
\mathrm{H}^{+}em cada uma das seguintes soluções a 25^{\circ} \mathrm{C} ?
b) HF 1,00 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ; \mathrm{K}_{\mathrm{a}}=6,5 \cdot 10^{-4}

Passo 1

O enunciado pede a concentração de \mathrm{H}^{+} em uma solução de ácido fluorídrico. Dados fornecidos:
\text{concentração inicial de HF} = 1,00\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}çã
K_a(\text{HF}) = 6,5\times10^{-4}
Pergunta: qual é \left[\mathrm{H}^{+}\right] nessa solução a 25^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Entendendo o que acontece: HF é um ácido fraco que se ioniza parcialmente segundo a reação
\mathrm{HF} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{F}^{-}.
A constante de acidez K_a é definida por
K_a=\frac{\left[\mathrm{H}^{+}\right]\left[\mathrm{F}^{-}\right]}{\left[\mathrm{HF}\right]},
onde \left[\mathrm{H}^{+}\right] é a concentração de íons hidrogênio no equilíbrio, \left[\mathrm{F}^{-}\right] é a concentração de fluoreto no equilíbrio e \left[\mathrm{HF}\right] é a concentração de HF que restou no equilíbrio. Cada variável representa concentração em \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 3

Fazendo uma tabela ICE (Inicial — Mudança — Equilíbrio):
Inicial: \left[\mathrm{HF}\right]=1{,}00,\; \left[\mathrm{H}^{+}\right]=0,\; \left[\mathrm{F}^{-}\right]=0 (desprezando a autoionização da água).
Mudança: \mathrm{HF} diminui em x, \mathrm{H}^{+} e \mathrm{F}^{-} aumentam em x.
Equilíbrio: \left[\mathrm{HF}\right]=1{,}00-x,\; \left[\mathrm{H}^{+}\right]=x,\; \left[\mathrm{F}^{-}\right]=x.
Substituindo na expressão de K_a:
K_a=\frac{x\cdot x}{1{,}00-x}=\frac{x^2}{1{,}00-x}.
Então obtemos a equação
\frac{x^2}{1{,}00-x}=6{,}5\times10^{-4}.

Passo 4

Transformando em equação polinomial:
x^2 = 6{,}5\times10^{-4}\,(1{,}00 - x)
x^2 = 6{,}5\times10^{-4} - 6{,}5\times10^{-4}\,x
x^2 + 6{,}5\times10^{-4}\,x - 6{,}5\times10^{-4} = 0.
Isto é uma equação quadrática ax^2+bx+c=0 com a=1, b=6{,}5\times10^{-4}, c=-6{,}5\times10^{-4}.
Aplicando a fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
calculamos o discriminante:
b^2=(6{,}5\times10^{-4})^2=4{,}225\times10^{-7},
-4ac=-4\cdot1\cdot(-6{,}5\times10^{-4})=+2{,}6\times10^{-3}.
Portanto
\Delta=b^2-4ac=2{,}6004225\times10^{-3}.
A raiz quadrada é aproximadamente
\sqrt{\Delta}\approx0{,}0509957.
Escolhemos a raiz positiva (concentração positiva):
x=\frac{-6{,}5\times10^{-4}+0{,}0509957}{2}\approx0{,}0251729\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 5

Verificando a aproximação simples: para ácidos fracos muitas vezes usamos x\approx\sqrt{K_a\,C_0}, onde C_0 é a concentração inicial do ácido. Aqui isso dá
x\approx\sqrt{6{,}5\times10^{-4}\times1{,}00}=\sqrt{6{,}5\times10^{-4}}\approx0{,}02549\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
A diferença entre a aproximação e a solução exata é pequena. Checamos a regra do 5%: \dfrac{x}{C_0}\times100\%= \dfrac{0{,}02517}{1{,}00}\times100\%\approx2{,}52\% <5\%. Logo a aproximação é válida e o valor calculado é confiável.

Resposta

\left[\mathrm{H}^{+}\right]=2{,}52\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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