Qual o pH de uma solução 10^{-5} \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de NaOH , se a 1 L desta solução adicionarmos:
0,00 \mathrm{~mol} de HCl

Passo 1

O enunciado pede o pH de 1 L de uma solução de NaOH com concentração 10^{-5}\\ \mathrm{mol/L} quando adicionamos 0{,}00\\ \mathrm{mol} de HCl.\n
Informações dadas:
  • Concentração inicial de NaOH: C = 10^{-5}\\ \mathrm{mol/L}.
  • Volume: 1\\ \mathrm{L} (mas como a concentração é dada em mol/L, o volume não altera a concentração final neste caso).
  • Quantidade de HCl adicionada: 0{,}00\\ \mathrm{mol} (ou seja, nenhuma neutralização adicional ocorre).
  • Constante de ionização da água (à 25^\circ\mathrm{C}): K_w = 10^{-14}.\n
    Pergunta clara: qual é o pH da solução resultante?

Passo 2

Entendendo o que acontece na solução (aula rápida, sem enrolação):\n
  • NaOH é uma base forte: ela se dissocia totalmente em água gerando íons \mathrm{Na^+} e \mathrm{OH^-}. Portanto a contribuição direta de NaOH para [\mathrm{OH^-}] é C = 10^{-5}\\ \mathrm{M}.\n
  • A água também se autoioniza segundo \;K_w = [\mathrm{H^+}][\mathrm{OH^-}]=10^{-14}\;. Quando a base é muito diluída, a autoionização da água não pode ser negligenciada — ela muda um pouco as concentrações.\n
  • Regra de neutralidade elétrica: a soma de cargas positivas deve igualar a soma de cargas negativas. Aqui temos \mathrm{Na^+}, \mathrm{H^+} (positivos) e \mathrm{OH^-}, (negativos). Não há \mathrm{Cl^-} porque não adicionamos HCl. Assim:
[\mathrm{Na^+}] + [\mathrm{H^+}] = [\mathrm{OH^-}]
Como [\mathrm{Na^+}] = C, obtemos a relação:
[\mathrm{OH^-}] = C + [\mathrm{H^+}].
  • Usando K_w, substituímos [\mathrm{OH^-}] = \dfrac{K_w}{[\mathrm{H^+}]}. Isso nos leva a uma equação em [\mathrm{H^+}] que vamos resolver exatamente (essa é a forma correta quando C e K_w têm ordens de grandeza comparáveis).

Passo 3

Montando a equação para [\mathrm{H^+}]:\n
Substituindo [\mathrm{OH^-}] = \dfrac{K_w}{[\mathrm{H^+}]} em [\mathrm{OH^-}] = C + [\mathrm{H^+}], temos
\frac{K_w}{[\mathrm{H^+}]} = C + [\mathrm{H^+}].
Multiplicando por [\mathrm{H^+}]:
K_w = [\mathrm{H^+}]^2 + C\,[\mathrm{H^+}].
Reorganizando:
[\mathrm{H^+}]^2 + C\,[\mathrm{H^+}] - K_w = 0.
Isto é uma equação quadrática na incógnita h=[\mathrm{H^+}]:
h^2 + C h - K_w = 0.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula quadrática. A solução positiva (a fisicamente válida) é
h = \frac{-C + \sqrt{C^2 + 4K_w}}{2}.
Substituímos C = 10^{-5} e K_w = 10^{-14}:
h = \frac{-10^{-5} + \sqrt{(10^{-5})^2 + 4\cdot 10^{-14}}}{2} = \frac{-10^{-5} + \sqrt{10^{-10} + 4\cdot 10^{-14}}}{2}.

Passo 5

Fazendo a aproximação numérica controlada (mostro o raciocínio para você poder repetir em prova sem calculadora):\n
Calcule o discriminante dentro da raiz:
10^{-10} + 4\cdot 10^{-14} = 1{,}0004 \times 10^{-10}.
A raiz é
\sqrt{1{,}0004\times 10^{-10}} = 10^{-5}\sqrt{1{,}0004}.
Para pequeno \varepsilon=0{,}0004, \sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\frac{\varepsilon}{2}. Assim
\sqrt{1{,}0004}\approx 1 + \frac{0{,}0004}{2} = 1{,}0002.
Logo
\sqrt{10^{-10}+4\cdot10^{-14}}\approx 1{,}0002\times 10^{-5}.
Substituindo em h:
h \approx \frac{-10^{-5} + 1{,}0002\times 10^{-5}}{2} = \frac{0{,}0002\times 10^{-5}}{2} = \frac{2{,}0\times 10^{-9}}{2} = 1{,}0\times 10^{-9}\\ \mathrm{M}.
Portanto [\mathrm{H^+}]\approx 1{,}00\times 10^{-9}\\ \mathrm{M}.

Passo 6

Agora o pH é definido como \mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]. Com [\mathrm{H^+}]\approx 1{,}0\times 10^{-9},
\mathrm{pH} \approx -\log_{10}(1{,}0\times 10^{-9}) = 9{,}00.
Observação prática e tranquilizadora: se você, na prova, aproximar diretamente dizendo que [\mathrm{OH^-}]\approx 10^{-5} e então \mathrm{pOH}\approx 5 e \mathrm{pH}\approx 9, estará essencialmente correto — a diferença é minúscula (algumas unidades na quarta casa decimal). A forma com a equação quadrática é a maneira rigorosa e evita erro quando as concentrações estão próximas de 10^{-7}.

Resposta

9{,}00

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