Considere 1 mol de gás ideal a uma pressão inicial de
e temperatura inicial de
. Assuma que ele se expande adiabaticamente contra uma pressão de
, até que seu volume se duplique. Calcule o trabalho, a temperatura final e o
do processo.
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos e o que é pedido):
-
Dados fornecidos:
- Quantidade de gás:
. - Pressão inicial:
. - Temperatura inicial:
. - O gás se expande adiabaticamente contra uma pressão externa constante
. - O volume final é o dobro do inicial:
. - Capacidade calorífica molar a volume constante:
. - Constante dos gases ideais:
(usar para cálculos em SI). - Conversão de pressão:
.
- Quantidade de gás:
-
O que o enunciado pede:
- Calcular o trabalho realizado no processo (especificar a convenção de sinais).
- Calcular a temperatura final
. - Calcular a variação de energia interna
.
Passo 2
Decisões, convenções e fórmulas que vamos usar (explicando bem para que você possa repetir num exame):
-
Convenção de sinais (a mais comum em termodinâmica do ensino):
-
= trabalho realizado pelo sistema sobre o entorno (positivo se o sistema empurra o entorno). - A primeira lei da termodinâmica, nessa convenção, é
ondeé o calor absorvido pelo sistema (positivo se entra calor).
Aqui o processo é adiabático, entãoe Vou usar essa forma porque é muito usada em provas e evita confusão: calcular primeiro o trabalho feito pelo gás e então. -
-
Trabalho para expansão contra pressão externa constante:
- Se a pressão externa for constante em todo o processo (caso dado:
constante), o trabalho realizado pelo gás é
- Importante didático: esse
é a pressão que “segura” o pistão — para processos irreversíveis com pressão externa constante, usa-se essa expressão (não se usa a relação reversível constante).
- Se a pressão externa for constante em todo o processo (caso dado:
-
Variação de energia interna para gás ideal (função de temperatura só):
- Para um gás ideal mono ou poliatômico em que
é dado, vale
Come a expressão acima para , podemos encontrar depois de calcular o trabalho. - Para um gás ideal mono ou poliatômico em que
-
Lei dos gases ideais (para obter volumes iniciais se precisar):Aqui vamos usar essa equação para achar
e então .
Passo 3
Calcular os volumes inicial e final (converter unidades para SI):
- Converter pressões para pascal:
- Usar a lei dos gases para obter
: Fazer as contas passo a passo:
(ou seja,
, o volume molar nas CNTP).
- Volume final:
Passo 4
Calcular o trabalho realizado pelo gás
:
- Usar a fórmula para pressão externa constante:
Substituindo números (tudo em SI):
Vamos multiplicar passo a passo:
- Interpretação do sinal: como o gás expandiu,
significa que o sistema realizou trabalho sobre o entorno no valor de . (Se alguém preferir a convenção “trabalho sobre o sistema”, nesse caso seria .)
Passo 5
Calcular
e a temperatura final
:
-
Como o processo é adiabático,
. Pela primeira lei: Portanto -
Agora usar
para achar . Rearranjando: Substituindo:Calcular o termo:Logo -
Interpretação: a temperatura caiu porque o gás fez trabalho usando sua energia interna sem receber calor (processo adiabático irreversível contra pressão constante).
Passo 6
Resumo didático final (o que fizemos e por que):
- Não usamos a relação reversível
const porque o enunciado diz que a expansão ocorre contra uma pressão externa fixa ( ), o que caracteriza um processo irreversível. Para esse tipo de expansão, o trabalho é simplesmente . - Depois aplicamos a primeira lei com
e a relação (válida para gás ideal) para obter . - As contas foram feitas em unidades SI (Pa, m^3, J, K). Se preferir, dá para trabalhar em L·atm e converter, mas a forma SI evita erros.
Resposta
Trabalho realizado pelo gás:
Temperatura final:
Temperatura final: