Considere 1 mol de gás ideal a uma pressão inicial de 1,00 \mathrm{~atm} e temperatura inicial de 273,15 \mathrm{~K}. Assuma que ele se expande adiabaticamente contra uma pressão de 0,435 \mathrm{~atm}, até que seu volume se duplique. Calcule o trabalho, a temperatura final e o \Delta \mathrm{U} do processo. \mathrm{C}_{\mathrm{V}}=12,47 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos e o que é pedido):
  • Dados fornecidos:
    • Quantidade de gás: n=1\\ \text{mol}.
    • Pressão inicial: P_1=1,00\\ \text{atm}.
    • Temperatura inicial: T_1=273{,}15\\ \text{K}.
    • O gás se expande adiabaticamente contra uma pressão externa constante P_{\text{ext}}=0,435\\ \text{atm}.
    • O volume final é o dobro do inicial: V_2=2V_1.
    • Capacidade calorífica molar a volume constante: C_V=12{,}47\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
    • Constante dos gases ideais: \;R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} (usar para cálculos em SI).
    • Conversão de pressão: 1\\ \text{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Calcular o trabalho realizado no processo (especificar a convenção de sinais).
    2. Calcular a temperatura final T_2.
    3. Calcular a variação de energia interna \Delta U.

Passo 2

Decisões, convenções e fórmulas que vamos usar (explicando bem para que você possa repetir num exame):
  • Convenção de sinais (a mais comum em termodinâmica do ensino):
    • W_{\text{by}} = trabalho realizado pelo sistema sobre o entorno (positivo se o sistema empurra o entorno).
    • A primeira lei da termodinâmica, nessa convenção, é
    \Delta U = Q - W_{\text{by}},
    onde Q é o calor absorvido pelo sistema (positivo se entra calor).
    Aqui o processo é adiabático, então Q=0 e
    \Delta U = -W_{\text{by}}.
    Vou usar essa forma porque é muito usada em provas e evita confusão: calcular primeiro o trabalho feito pelo gás e então \Delta U.
  • Trabalho para expansão contra pressão externa constante:
    • Se a pressão externa for constante em todo o processo (caso dado: P_{\text{ext}}= constante), o trabalho realizado pelo gás é
    W_{\text{by}} = \int_{V_1}^{V_2} P_{\text{ext}}\,dV = P_{\text{ext}}(V_2-V_1).
    • Importante didático: esse P_{\text{ext}} é a pressão que “segura” o pistão — para processos irreversíveis com pressão externa constante, usa-se essa expressão (não se usa a relação reversível P V^\gamma= constante).
  • Variação de energia interna para gás ideal (função de temperatura só):
    • Para um gás ideal mono ou poliatômico em que C_V é dado, vale
    \Delta U = n C_V (T_2-T_1).
    Com Q=0 e a expressão acima para \Delta U, podemos encontrar T_2 depois de calcular o trabalho.
  • Lei dos gases ideais (para obter volumes iniciais se precisar):
    P_1 V_1 = n R T_1.
    Aqui vamos usar essa equação para achar V_1 e então V_2=2V_1.

Passo 3

Calcular os volumes inicial e final (converter unidades para SI):
  • Converter pressões para pascal: P_1 = 1{,}00\\ \text{atm} = 1{,}00\cdot101325\\ \mathrm{Pa}=101325\\ \mathrm{Pa},
P_{\text{ext}} = 0{,}435\\ \text{atm} = 0{,}435\cdot101325\\ \mathrm{Pa}=44076{,}375\\ \mathrm{Pa}.
  • Usar a lei dos gases para obter V_1: V_1=\frac{nRT_1}{P_1}=\frac{(1)(8{,}314462618)(273{,}15)}{101325}\\ \mathrm{m^3}.Fazer as contas passo a passo: nRT_1=(1)\cdot8{,}314462618\cdot273{,}15 \approx 2271{,}10\\ \mathrm{J} \quad(\text{J}=\mathrm{Pa\cdot m^3}).
V_1 \approx \frac{2271{,}10}{101325}\\ \mathrm{m^3}\approx0{,}022414\\ \mathrm{m^3}.
(ou seja, V_1\approx22{,}414\\ \mathrm{L}, o volume molar nas CNTP).
  • Volume final: V_2=2V_1\approx2\cdot0{,}022414\\ \mathrm{m^3}=0{,}044828\\ \mathrm{m^3}.

Passo 4

Calcular o trabalho realizado pelo gás W_{\text{by}}:
  • Usar a fórmula para pressão externa constante: W_{\text{by}} = P_{\text{ext}}(V_2-V_1).Substituindo números (tudo em SI): \Delta V = V_2-V_1 = 0{,}044828-0{,}022414 = 0{,}022414\\ \mathrm{m^3}.
W_{\text{by}} = 44076{,}375\\ \mathrm{Pa}\times0{,}022414\\ \mathrm{m^3}.
Vamos multiplicar passo a passo:
W_{\text{by}} \approx 44076{,}375\times0{,}022414 \approx 987{,}93\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação do sinal: como o gás expandiu, W_{\text{by}}>0 significa que o sistema realizou trabalho sobre o entorno no valor de 987{,}93\\ \mathrm{J}. (Se alguém preferir a convenção “trabalho sobre o sistema”, nesse caso seria W_{\text{on}}=-987{,}93\\ \mathrm{J}.)

Passo 5

Calcular \Delta U e a temperatura final T_2:
  • Como o processo é adiabático, Q=0. Pela primeira lei:
    \Delta U = Q - W_{\text{by}} = -W_{\text{by}}.
    Portanto
    \Delta U = -987{,}93\\ \mathrm{J}.
  • Agora usar \Delta U = n C_V (T_2-T_1) para achar T_2. Rearranjando:
    T_2 = T_1 + \frac{\Delta U}{n C_V}.
    Substituindo:
    T_2 = 273{,}15 + \frac{-987{,}93}{(1)(12{,}47)}\\ \mathrm{K}.
    Calcular o termo:
    \frac{987{,}93}{12{,}47}\approx79{,}23\\ \mathrm{K}.
    Logo
    T_2 \approx 273{,}15 - 79{,}23 = 193{,}92\\ \mathrm{K}.
  • Interpretação: a temperatura caiu porque o gás fez trabalho usando sua energia interna sem receber calor (processo adiabático irreversível contra pressão constante).

Passo 6

Resumo didático final (o que fizemos e por que):
  • Não usamos a relação reversível P V^\gamma= const porque o enunciado diz que a expansão ocorre contra uma pressão externa fixa ( P_{\text{ext}}), o que caracteriza um processo irreversível. Para esse tipo de expansão, o trabalho é simplesmente P_{\text{ext}}\Delta V.
  • Depois aplicamos a primeira lei com Q=0 e a relação \Delta U=nC_V\Delta T (válida para gás ideal) para obter T_2.
  • As contas foram feitas em unidades SI (Pa, m^3, J, K). Se preferir, dá para trabalhar em L·atm e converter, mas a forma SI evita erros.

Resposta

Trabalho realizado pelo gás: W_{\text{by}}=987{,}93\\ \mathrm{J}
Temperatura final: T_2=193{,}92\\ \mathrm{K}
\Delta U=-987{,}93\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados