Pode-se extrair ouro de rochas que contém traços (quantidades muito pequenas) desse metal através da cianetaçăo. Nesse processo o ouro é extraido através da formação de um complexo muito estável o dicianoaurato (I)
. Para ilustrar a estabilidade desse complexo, calcule a solubilidade do AuCI numa solução de KCN
e compare com a solubilidade do AuCl em água pura.
Dados:
form. (ion dicianoaurato(
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular a solubilidade do AuCl numa solução de KCN
. - Comparar essa solubilidade com a solubilidade do AuCl em água pura.
Informações dadas (vou listar exatamente como aparecem no enunciado):
- Produto de solubilidade:
. - Constante de formação do ânion dicianoaurato(I):
. - Concentração inicial de
fornecida pela solução de KCN: .
Observação importante (informação que utilizarei na resolução): ao dissolver
mol de AuCl forma-se
mol de
e
mol de Au total (que pode existir como
livre ou como complexo
). Não vou supor nada além do enunciado; toda suposição será justificada nos passos seguintes.
Passo 2
Conceitos e equações fundamentais — explicando passo a passo (aula rápida e prática)
- Definição de produto de solubilidade (
) para o sal pouco solúvel AuCl:
A constante de equilíbrio é
Se a solubilidade em água pura for
, então
e
Isto é direto: para sais do tipo
,
.
- Constante de formação (
) do complexo (reação de formação):
A definição de
é
Isto significa que, se há
disponível, parte (ou quase todo) o
será convertida em
dependendo do valor de
. Quanto maior
, mais deslocada para a direita está a formação do complexo.
- Balanço de massa do ouro: se
for a solubilidade total de Au (mol de Au dissolvido por L), então esse ouro está distribuído entre e :
- Balanço de massa do cianeto: a solução começou com
. Cada mol de complexo consome 2 mol de . Se chamarmos , a concentração livre de é
Estas equações (Ksp, Kf, balances) são as ferramentas que vamos combinar para achar
.
Passo 3
Montando as equações de equilíbrio ligadas entre si
Usando as três relações: Ksp, Kf e balanço de ouro.
Da definição de
:
Mas
é exatamente a solubilidade total
(cada mol de AuCl que se dissolve gera 1 mol de Cl^-), então
Da definição de
:
Do balanço de ouro:
Agora substituímos
dentro das outras duas equações para eliminar
. Fazendo isso e isolando dá (mostro a combinação passo a passo):
Substituindo em
:
Substituindo esse valor no balanço de ouro
:
Multiplicando por
:
Essa é a equação-chave: a solubilidade
depende de
, que por sua vez depende de quanto complexo se formou.
Passo 4
Estimativa do tamanho dos termos e simplificação conveniente
Calculo o termo
(usando
) para ver se é grande ou pequeno:
Isto é colossal:
. Portanto o termo
é dominado por
a menos que
se reduza fortemente por consumo. Ou seja: a formação do complexo é fortemente favorecida; o sistema tenderá a converter quase todo o
em
até esgotar o
disponível.
Conclusão prática: a solubilidade aumentará muito, mas existe uma restrição óbvia de massa — não se pode usar mais
do que os
disponíveis. Como cada mol de complexo usa 2 mol de
, o limite máximo de Au que pode ser complexo é
. Portanto
não pode ultrapassar
.
Passo 5
Resolução aproximada e matematicamente controlada levando em conta o esgotamento de
Para avançar, uso a boa aproximação que vem do tamanho gigante de
: praticamente todo o Au dissolvido estará como complexo, ou seja
e
é negligível comparado a
. Então o balanço do cianeto fica
Substituo isso na equação-chave (ignorando o “+1” por ser negligível frente a
):
Para facilitar, defino
Calculando
:
Tomando raiz quadrada de ambos os lados da equação aproximada:
Agora resolvo algebricamente:
Portanto
Como
é enorme (
), a fração
Ou seja, ao nível de precisão relevante,
Isso coincide com a expectativa fisicamente óbvia: o limite é que todo o
seja consumido para formar complexo, e cada mol de complexo consome 2 mol de
, logo
.
Nota técnica: correções de ordem
são negligíveis (da ordem de
relativo), portanto
é precisamente a solução no contexto dos dados fornecidos.
Passo 6
Cálculo da solubilidade em água pura (caso sem CN)
Em água pura não há complexação, então a solubilidade
satisfaz
portanto
Mostro o cálculo numérico:
e
. Multiplicando dá
.
Passo 7
Comparação numérica e interpretação (resultado final e sentido químico)
- Solubilidade em
de KCN: . - Solubilidade em água pura:
.
Fator de aumento:
Ou seja, a presença de
de CN^- aumenta a solubilidade do AuCl em cerca de
vezes — na prática dissolvendo muito mais ouro por causa da formação do complexo extremamente estável. Quimicamente isso explica por que se usa cianeto para lixiviar ouro: o complexo
é tão estável que “puxa” o equilíbrio de dissolução para a direita até consumir o cianeto disponível.