Pode-se extrair ouro de rochas que contém traços (quantidades muito pequenas) desse metal através da cianetaçăo. Nesse processo o ouro é extraido através da formação de um complexo muito estável o dicianoaurato (I) \left(\left[\mathrm{Au}(\mathrm{CN})_{2}\right]^{1+}\right). Para ilustrar a estabilidade desse complexo, calcule a solubilidade do AuCI numa solução de KCN 0,10 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e compare com a solubilidade do AuCl em água pura.
Dados: \mathrm{Kps}(\mathrm{AuCI})=2,0 \times 10^{-13} ; \mathrm{K} form. (ion dicianoaurato( \left.(\mathrm{I})\right)=1,0 \times 10^{30}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a solubilidade do AuCl numa solução de KCN 0,10\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Comparar essa solubilidade com a solubilidade do AuCl em água pura.
Informações dadas (vou listar exatamente como aparecem no enunciado):
  • Produto de solubilidade: \mathrm{K_{sp}}(\mathrm{AuCl}) = 2,0\times 10^{-13}.
  • Constante de formação do ânion dicianoaurato(I): \mathrm{K_f} = 1,0\times 10^{30}.
  • Concentração inicial de \mathrm{CN^-} fornecida pela solução de KCN: [ \mathrm{CN^-} ]_{\text{inicial}} = 0,10\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Observação importante (informação que utilizarei na resolução): ao dissolver 1 mol de AuCl forma-se 1 mol de \mathrm{Cl^-} e 1 mol de Au total (que pode existir como \mathrm{Au^+} livre ou como complexo [\mathrm{Au(CN)_2}]^-). Não vou supor nada além do enunciado; toda suposição será justificada nos passos seguintes.

Passo 2

Conceitos e equações fundamentais — explicando passo a passo (aula rápida e prática)
  1. Definição de produto de solubilidade ( \mathrm{K_{sp}}) para o sal pouco solúvel AuCl:
\mathrm{AuCl_{(s)} \rightleftharpoons Au^+ + Cl^-}
A constante de equilíbrio é
\mathrm{K_{sp}} = [\mathrm{Au^+}]\,[\mathrm{Cl^-}].
Se a solubilidade em água pura for s_{\text{água}}á, então [\mathrm{Au^+}]=[\mathrm{Cl^-}]=s_{\text{água}}á e
s_{\text{água}} = \sqrt{\mathrm{K_{sp}}}.á
Isto é direto: para sais do tipo MX, s=\sqrt{K_{sp}}.
  1. Constante de formação ( \mathrm{K_f}) do complexo (reação de formação):
\mathrm{Au^+ + 2\,CN^- \rightleftharpoons [Au(CN)_2]^-}
A definição de \mathrm{K_f} é
\mathrm{K_f}=\frac{[\mathrm{Au(CN)_2^-}]}{[\mathrm{Au^+}]\,[\mathrm{CN^-}]^2}.
Isto significa que, se há \mathrm{CN^-} disponível, parte (ou quase todo) o \mathrm{Au^+} será convertida em [\mathrm{Au(CN)_2}]^- dependendo do valor de \mathrm{K_f}. Quanto maior \mathrm{K_f}, mais deslocada para a direita está a formação do complexo.
  1. Balanço de massa do ouro: se s for a solubilidade total de Au (mol de Au dissolvido por L), então esse ouro está distribuído entre [\mathrm{Au^+}] e [\mathrm{Au(CN)_2^-}]:
s = [\mathrm{Au^+}] + [\mathrm{Au(CN)_2^-}].
  1. Balanço de massa do cianeto: a solução começou com [ \mathrm{CN^-} ]_{\text{inicial}}=0,10. Cada mol de complexo consome 2 mol de \mathrm{CN^-}. Se chamarmos x=[\mathrm{Au(CN)_2^-}], a concentração livre de \mathrm{CN^-} é
[\mathrm{CN^-}]_{\text{livre}} = 0,10 - 2x.
Estas equações (Ksp, Kf, balances) são as ferramentas que vamos combinar para achar s.

Passo 3

Montando as equações de equilíbrio ligadas entre si
Usando as três relações: Ksp, Kf e balanço de ouro.
Da definição de \mathrm{K_{sp}}:
[\mathrm{Au^+}] = \frac{\mathrm{K_{sp}}}{[\mathrm{Cl^-}]}.
Mas [\mathrm{Cl^-}] é exatamente a solubilidade total s (cada mol de AuCl que se dissolve gera 1 mol de Cl^-), então
[\mathrm{Au^+}] = \frac{\mathrm{K_{sp}}}{s}.
Da definição de \mathrm{K_f}:
[\mathrm{Au(CN)_2^-}] = \mathrm{K_f}\,[\mathrm{Au^+}]\,[\mathrm{CN^-}]_{\text{livre}}^2.
Do balanço de ouro:
s = [\mathrm{Au^+}] + [\mathrm{Au(CN)_2^-}].
Agora substituímos [\mathrm{Au^+}]=\dfrac{\mathrm{K_{sp}}}{s} dentro das outras duas equações para eliminar [\mathrm{Au^+}]. Fazendo isso e isolando dá (mostro a combinação passo a passo):
Substituindo em [\mathrm{Au(CN)_2^-}]:
[\mathrm{Au(CN)_2^-}] = \mathrm{K_f}\,\frac{\mathrm{K_{sp}}}{s}\,[\mathrm{CN^-}]_{\text{livre}}^2.
Substituindo esse valor no balanço de ouro s = [\mathrm{Au^+}] + [\mathrm{Au(CN)_2^-}]:
s = \frac{\mathrm{K_{sp}}}{s} + \mathrm{K_f}\,\frac{\mathrm{K_{sp}}}{s}\,[\mathrm{CN^-}]_{\text{livre}}^2.
Multiplicando por s:
s^2 = \mathrm{K_{sp}}\left(1 + \mathrm{K_f}\,[\mathrm{CN^-}]_{\text{livre}}^2\right).
Essa é a equação-chave: a solubilidade s depende de [\mathrm{CN^-}]_{\text{livre}}, que por sua vez depende de quanto complexo se formou.

Passo 4

Estimativa do tamanho dos termos e simplificação conveniente
Calculo o termo \mathrm{K_f}\,[\mathrm{CN^-}]_{\text{inicial}}^2 (usando [\mathrm{CN^-}]_{\text{inicial}}=0,10\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}) para ver se é grande ou pequeno:
\mathrm{K_f}\,[\mathrm{CN^-}]_{\text{inicial}}^2 = 1,0\times 10^{30}\times (0,10)^2 = 1,0\times 10^{28}.
Isto é colossal: \,1,0\times 10^{28}\gg 1. Portanto o termo 1+\mathrm{K_f}[\mathrm{CN^-}]^2 é dominado por \mathrm{K_f}[\mathrm{CN^-}]^2 a menos que [\mathrm{CN^-}]_{\text{livre}} se reduza fortemente por consumo. Ou seja: a formação do complexo é fortemente favorecida; o sistema tenderá a converter quase todo o \mathrm{Au^+} em [\mathrm{Au(CN)_2^-}] até esgotar o \mathrm{CN^-} disponível.
Conclusão prática: a solubilidade aumentará muito, mas existe uma restrição óbvia de massa — não se pode usar mais \mathrm{CN^-} do que os 0,10\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} disponíveis. Como cada mol de complexo usa 2 mol de \mathrm{CN^-}, o limite máximo de Au que pode ser complexo é \dfrac{0,10}{2}=0,05\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. Portanto s não pode ultrapassar 0,05\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 5

Resolução aproximada e matematicamente controlada levando em conta o esgotamento de \mathrm{CN^-}
Para avançar, uso a boa aproximação que vem do tamanho gigante de \mathrm{K_f}: praticamente todo o Au dissolvido estará como complexo, ou seja [\mathrm{Au(CN)_2^-}]\approx s e [\mathrm{Au^+}] é negligível comparado a s. Então o balanço do cianeto fica
[\mathrm{CN^-}]_{\text{livre}} \approx 0,10 - 2s.
Substituo isso na equação-chave (ignorando o “+1” por ser negligível frente a \mathrm{K_f}[\mathrm{CN^-}]^2):
s^2 \approx \mathrm{K_{sp}}\,\mathrm{K_f}\,(0,10 - 2s)^2.
Para facilitar, defino
A \equiv \sqrt{\mathrm{K_{sp}\,K_f}}.
Calculando A:
A = \sqrt{2,0\times 10^{-13}\times 1,0\times 10^{30}} = \sqrt{2,0\times 10^{17}} \approx 4,472\times 10^{8}.
Tomando raiz quadrada de ambos os lados da equação aproximada:
s \approx A\,(0,10 - 2s).
Agora resolvo algebricamente:
s = 0,10\,A - 2A\,s \quad\Rightarrow\quad s(1+2A) = 0,10\,A.
Portanto
s = \frac{0,10\,A}{1+2A}.
Como A é enorme ( 2A\approx 8,944\times 10^{8}\gg 1), a fração
\frac{0,10\,A}{1+2A}\approx \frac{0,10\,A}{2A}=\frac{0,10}{2}=0,05.
Ou seja, ao nível de precisão relevante,
s \approx 0,05\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Isso coincide com a expectativa fisicamente óbvia: o limite é que todo o \mathrm{CN^-} seja consumido para formar complexo, e cada mol de complexo consome 2 mol de \mathrm{CN^-}, logo s_{\max}=0,10/2=0,05.
Nota técnica: correções de ordem 1/A são negligíveis (da ordem de 10^{-9} relativo), portanto s=0,05 é precisamente a solução no contexto dos dados fornecidos.

Passo 6

Cálculo da solubilidade em água pura (caso sem CN)
Em água pura não há complexação, então a solubilidade s_{\text{água}}á satisfaz
s_{\text{água}}^2 = \mathrm{K_{sp}} = 2,0\times 10^{-13},á
portanto
s_{\text{água}} = \sqrt{2,0\times 10^{-13}} \approx 4,47\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.á
Mostro o cálculo numérico: \sqrt{2,0}\approx 1,414 e \sqrt{10^{-13}}=10^{-6,5}\approx 3,162\times 10^{-7}. Multiplicando dá \approx 4,47\times 10^{-7}.

Passo 7

Comparação numérica e interpretação (resultado final e sentido químico)
  • Solubilidade em 0,10\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} de KCN: s_{\mathrm{KCN}}\approx 0,05\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Solubilidade em água pura: s_{\text{água}}\approx 4,47\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}á.
Fator de aumento:
\frac{s_{\mathrm{KCN}}}{s_{\text{água}}} \approx \frac{0,05}{4,47\times 10^{-7}} \approx 1,12\times 10^{5}.á
Ou seja, a presença de 0,10\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} de CN^- aumenta a solubilidade do AuCl em cerca de 1,1\times 10^{5} vezes — na prática dissolvendo muito mais ouro por causa da formação do complexo extremamente estável. Quimicamente isso explica por que se usa cianeto para lixiviar ouro: o complexo [\mathrm{Au(CN)_2}]^- é tão estável que “puxa” o equilíbrio de dissolução para a direita até consumir o cianeto disponível.

Resposta

s_{\mathrm{KCN}} \approx 0,05\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
s_{\text{água}} \approx 4,47\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}á
\dfrac{s_{\mathrm{KCN}}}{s_{\text{água}}} \approx 1,12\times 10^{5}á

Exercícios relacionados