Uma solução aquosa contendo 10% de sólidos (em massa) suspensos é filtrada em um filtro prensa. Em um experimento anterior foi determinado que a relação entre a torta úmida e a torta seca é de 2.2, usando uma torta incompressível com uma resistência específica de
. Durante filtração na pressão constante de 3 atm , a variação da quantidade de filtrado com o tempo foi reportada de acordo com a tabela abaixo:
Tempo (minutos) | 8 | 18 | 31 | 49 | 70 | 95 |
---|---|---|---|---|---|---|
Massa de filtrado (kg) | 1600 | 2700 | 3720 | 4900 | 6000 | 7125 |
(b) Considerando o tempo não-operativo (lavagem e desmantelamento) como 26 minutos, calcule o volume de filtrado recuperado ao final de 10 horas se a operação é realizada na condição de produção ótima (
). (
)
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede:
Temos uma filtragem com uma suspensão 10% em massa de sólidos, torta incompressível (α = 2,5·10¹⁰ m/kg), pressão constante ΔP = 3 atm, e numa etapa anterior a gente já coletou massa de filtrado versus tempo (tabela). Agora, já sabendo que há 26 min de tempo morto (lavagem, desmontagem), queremos operar na condição de “produção ótima” (isto é, dP/dV = 0 ou, mais comum, otimizar V/(t + t_d) ) e descobrir quanto de filtrado (em volume) sai em 10 h.
Conteúdo: filtração a pressão constante, relação t×V, ajuste linear de t/V versus V, condição de produção ótima.
Temos uma filtragem com uma suspensão 10% em massa de sólidos, torta incompressível (α = 2,5·10¹⁰ m/kg), pressão constante ΔP = 3 atm, e numa etapa anterior a gente já coletou massa de filtrado versus tempo (tabela). Agora, já sabendo que há 26 min de tempo morto (lavagem, desmontagem), queremos operar na condição de “produção ótima” (isto é, dP/dV = 0 ou, mais comum, otimizar V/(t + t_d) ) e descobrir quanto de filtrado (em volume) sai em 10 h.
Conteúdo: filtração a pressão constante, relação t×V, ajuste linear de t/V versus V, condição de produção ótima.
Passo 2
Primeiro a gente lembra a equação clássica de filtração incompressível a pressão constante:
onde V é o volume de filtrado, t o tempo de filtração, e k, b são constantes relacionadas a α, μ, área, resistência do meio filtrante, etc.
Para encontrar k e b, convertemos massa de filtrado M em volume V (ρ água ≃ 1000 kg/m³) e montamos t/V versus V, porque
onde V é o volume de filtrado, t o tempo de filtração, e k, b são constantes relacionadas a α, μ, área, resistência do meio filtrante, etc.
Para encontrar k e b, convertemos massa de filtrado M em volume V (ρ água ≃ 1000 kg/m³) e montamos t/V versus V, porque
Tabela resumida:
Tempo t (min) | M (kg) | V = M/1000 (m³) | t/V (min/m³) |
---|---|---|---|
8 | 1600 | 1,60 | 5,00 |
18 | 2700 | 2,70 | 6,67 |
31 | 3720 | 3,72 | 8,33 |
49 | 4900 | 4,90 | 10,00 |
70 | 6000 | 6,00 | 11,67 |
95 | 7125 | 7,125 | 13,33 |
Fazendo um ajuste de reta em
versus
dá aproximadamente:
Passo 3
Agora a parte “produção ótima”. A gente quer maximizar a produção específica
onde
min. A condição de ótimo é
Como
, temos
. Substituindo:
Passo 4
Basta colocar os valores:
O tempo de filtração nesse volume é
logo o ciclo inteiro dura
min e produz 4,16 m³.
A vazão média é
A vazão média é
e em 10 h (600 min) temos
Resposta
O volume de filtrado recuperado em 10 horas, operando na condição ótima, é aproximadamente 39,6 m³.