Uma solução aquosa contendo 10% de sólidos (em massa) suspensos é filtrada em um filtro prensa. Em um experimento anterior foi determinado que a relação entre a torta úmida e a torta seca é de 2.2, usando uma torta incompressível com uma resistência específica de 2,5 cdot 10^10 m / kg. Durante filtração na pressão constante de 3 atm , a variação da quantidade de filtrado com o tempo foi reportada de acordo com a tabela abaixo:
Tempo (minutos) 8 18 31 49 70 95
Massa de filtrado (kg) 1600 2700 3720 4900 6000 7125
(b) Considerando o tempo não-operativo (lavagem e desmantelamento) como 26 minutos, calcule o volume de filtrado recuperado ao final de 10 horas se a operação é realizada na condição de produção ótima ( dP / dV=0 ). ( 3 9 , 6 m^3 )

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede:
Temos uma filtragem com uma suspensão 10% em massa de sólidos, torta incompressível (α = 2,5·10¹⁰ m/kg), pressão constante ΔP = 3 atm, e numa etapa anterior a gente já coletou massa de filtrado versus tempo (tabela). Agora, já sabendo que há 26 min de tempo morto (lavagem, desmontagem), queremos operar na condição de “produção ótima” (isto é, dP/dV = 0 ou, mais comum, otimizar V/(t + t_d) ) e descobrir quanto de filtrado (em volume) sai em 10 h.
Conteúdo: filtração a pressão constante, relação t×V, ajuste linear de t/V versus V, condição de produção ótima.

Passo 2

Primeiro a gente lembra a equação clássica de filtração incompressível a pressão constante:
tV ;=; k,V + b
onde V é o volume de filtrado, t o tempo de filtração, e k, b são constantes relacionadas a α, μ, área, resistência do meio filtrante, etc.
Para encontrar k e b, convertemos massa de filtrado M em volume V (ρ água ≃ 1000 kg/m³) e montamos t/V versus V, porque
k approx 1,5;min/m^6, b approx 2,6;min/m^3
Tabela resumida:
Tempo t (min) M (kg) V = M/1000 (m³) t/V (min/m³)
8 1600 1,60 5,00
18 2700 2,70 6,67
31 3720 3,72 8,33
49 4900 4,90 10,00
70 6000 6,00 11,67
95 7125 7,125 13,33
Fazendo um ajuste de reta em versus dá aproximadamente:

Passo 3

Agora a parte “produção ótima”. A gente quer maximizar a produção específica
Phi(V) = Vt(V) + td
onde ddVl[Phi(V)r]=0 Longrightarrow t + td = V,dtdV  min. A condição de ótimo é
kV^2 + bV + td = V,(2kV + b) ;Longrightarrow; td = k,V^2 ;Longrightarrow; Vrm ótimo = raiztdk
Como , temos . Substituindo:
ó

Passo 4

Basta colocar os valores:
Vrm ótimo = raiz261,5 approx raiz17,33 approx 4,16;m^3;por ciclo ó
O tempo de filtração nesse volume é
tf = kV^2 + bV =1,5,(4,16)^2 + 2,6,(4,16) approx 36,8;min,
logo o ciclo inteiro dura Q = 4,1662,8approx0,0663;tfracm^3min,  min e produz 4,16 m³.
A vazão média é
V10h = 600cdot 0,0663 approx 39,6;m^3
e em 10 h (600 min) temos

Resposta

O volume de filtrado recuperado em 10 horas, operando na condição ótima, é aproximadamente 39,6 m³.

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