A massa específica da água, a 20 으 C e à pressão atmosférica normal, vale 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Calcule o valor da massa específica de um corpo de água submetido a uma pressão de 108 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} a temperatura constante.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Massa específica (densidade) da água à temperatura de 20\\ ^\circ\mathrm{C} e pressão atmosférica normal: \rho_{0}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Pressão aplicada (aumento de pressão) sobre a água: \Delta p=10^{8}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}. (Estou interpretando o valor escrito como 10^{8}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.)
  • Temperatura mantida constante.
    Pergunta: calcular a nova massa específica \rho da água sob essa pressão, mantendo a temperatura constante.

Passo 2

Entender o conceito físico necessário: módulo de incompressibilidade (módulo volumétrico) de um líquido.
  • O módulo de incompressibilidade B é definido por
B = -\frac{\Delta p}{\Delta V/V},
onde \Delta p é a variação de pressão e \Delta V/V é a variação relativa de volume.
  • O sinal negativo aparece porque um aumento de pressão ( \Delta p>0) normalmente reduz o volume ( \Delta V<0); B é uma constante positiva que mede a resistência do líquido à compressão.
  • Para a água à temperatura ambiente, um valor prático usado é B \approx 2{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} (ou 2{,}2\\ \mathrm{GPa}). Vou usar esse valor.

Passo 3

Relacionar densidade com volume:
  • A densidade é \rho = m/V, com m a massa e V o volume. Como a massa não muda, variações relativas satisfazem
\frac{\Delta \rho}{\rho} = -\frac{\Delta V}{V}.
Isto é intuitivo: se o volume diminui em 1\%, a densidade aumenta em 1\%.

Passo 4

Combinar as duas relações para ligar \Delta \rho a \Delta p:
  • Da definição de B temos \Delta V/V = -\Delta p / B.
  • Substituindo em \Delta \rho/\rho = -\Delta V/V obtemos
\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta p}{B}.
  • Portanto a nova densidade é
\rho = \rho_{0}\left(1 + \frac{\Delta p}{B}\right).

Passo 5

Aplicar os números e calcular passo a passo:
  • Valores: \rho_{0}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, \Delta p=10^{8}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}, B=2{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.
  • Primeiro calcule a fração \Delta p/B:
\frac{\Delta p}{B}=\frac{10^{8}}{2{,}2\times10^{9}}=\frac{1}{2{,}2\times10^{1}}=\frac{1}{22}\approx0{,}0454545\ldots
(Observe a simplificação: dividir numerador e denominador por 10^{8} e depois por 2{,}2.)
  • Agora a nova densidade:
\rho = 1000\left(1 + \frac{1}{22}\right)=1000\cdot\frac{23}{22}=1000\cdot1{,}0454545\ldots
\rho \approx 1045{,}45\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: a água é pouco compressível, por isso um aumento enorme de pressão de 10^{8}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} só aumenta a densidade em cerca de 4{,}5\%. Se a pressão fosse muito menor (por exemplo algumas centenas de pascal), a mudança seria praticamente nula. Vai dar tudo certo na prova — lembra dessa relação simples \Delta\rho/\rho=\Delta p/B, ela resolve muitos exercícios desse tipo.

Resposta

1045{,}45\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}

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