Uma solução contém 1 mol de etanol ( 46 g ) em 1000 g de água a 25^{\circ} \mathrm{C}. A densidade do álcool é 0,791 \mathrm{~g} . \mathrm{cm}^{-3} e a da solução 0,992 \mathrm{~g} . \mathrm{cm}^{-3}. Calcule a composição da solução expressa em
fração molar

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Massa de etanol: 46\\ \text{g} (o enunciado também diz que isso corresponde a 1 mol).
  • Massa de água: 1000\\ \text{g}.
  • Densidade do etanol: 0,791\\ \text{g}\cdot\text{cm}^{-3}.
  • Densidade da solução: 0,992\\ \text{g}\cdot\text{cm}^{-3}.
  • Temperatura: 25^\circ\text{C} (não é necessária para a fração molar neste caso).
O que o enunciado pede:
  • Calcular a composição da solução expressa em fração molar (ou seja, as frações molares do etanol e da água na solução).

Passo 2

O que é fração molar e a fórmula que vamos usar.
A fração molar de uma espécie i numa mistura é definida por
x_i=\frac{n_i}{\sum_j n_j},
onde n_i é o número de mols da espécie i e a soma no denominador é o número total de mols de todas as espécies na solução.
Para a nossa mistura binária etanol–água teremos especificamente
x_{\mathrm{EtOH}}=\frac{n_{\mathrm{EtOH}}}{n_{\mathrm{EtOH}}+n_{\mathrm{H_2O}}} \qquad\text{e}\qquad x_{\mathrm{H_2O}}=\frac{n_{\mathrm{H_2O}}}{n_{\mathrm{EtOH}}+n_{\mathrm{H_2O}}}.
Explicando em linguagem mais simples: primeiro transformamos massas em mols (usando massas molares), depois dividimos o número de mols de cada componente pelo total de mols. Fácil — passo a passo a gente faz isso agora.

Passo 3

Calcular os números de mols de cada componente.
Etanol:
  • O enunciado já diz que há 1 mol de etanol. Podemos também verificar pela massa molar: massa molar do etanol \approx46\\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}, então
n_{\mathrm{EtOH}}=\frac{46\\ \text{g}}{46\\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}}=1\\ \text{mol}.
Água:
  • Massa molar da água \approx18\\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}. Então
n_{\mathrm{H_2O}}=\frac{1000\\ \text{g}}{18\\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}}=\frac{1000}{18}=\frac{500}{9}\\ \text{mol}\approx55,555\\ \text{mol}.
Observação útil: as densidades fornecidas não são necessárias para calcular a fração molar (já temos as massas e/ou mols). A densidade da solução serviria se pedissem volume total ou uma concentração em mol·L^{-1}; aqui basta trabalhar com mols.

Passo 4

Calcular a fração molar do etanol explicitamente.
Usando a fórmula
x_{\mathrm{EtOH}}=\frac{n_{\mathrm{EtOH}}}{n_{\mathrm{EtOH}}+n_{\mathrm{H_2O}}} =\frac{1}{1+\dfrac{500}{9}}.
Simplificando a expressão:
1+\frac{500}{9}=\frac{9+500}{9}=\frac{509}{9},
portanto
x_{\mathrm{EtOH}}=\frac{1}{509/9}=\frac{9}{509}.
Como decimal,
x_{\mathrm{EtOH}}\approx0,01769\quad(\text{arredondando em 5 casas significativas}).

Passo 5

Calcular a fração molar da água.
Podemos usar x_{\mathrm{H_2O}}=1-x_{\mathrm{EtOH}} ou calcular diretamente:
x_{\mathrm{H_2O}}=\frac{n_{\mathrm{H_2O}}}{n_{\mathrm{EtOH}}+n_{\mathrm{H_2O}}} =\frac{\tfrac{500}{9}}{\tfrac{509}{9}}=\frac{500}{509}.
Como decimal,
x_{\mathrm{H_2O}}\approx0,98231\quad(\text{arredondando em 5 casas significativas}).
Pequeno comentário motivador: deu trabalho só por causa do número grande de mols de água, mas a ideia é simples — transforma massa em mols e divide pelo total. Vai dar certo na prova se fizeres assim, passo a passo.

Resposta

x_{\mathrm{EtOH}}=\dfrac{9}{509}\approx0,01769
x_{\mathrm{H_2O}}=\dfrac{500}{509}\approx0,98231

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