Calcule integralC y d s ao longo da curva C dada por y=2 raizx, de x=3 a x=24.

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver o exercício onde precisamos calcular a integral de linha integralC y, ds ao longo da curva C definida por y = 2 raizx, de x = 3 até x = 24. Esse problema envolve cálculo integral e, mais especificamente, integrais de linha onde usamos parametrização e comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integralC y, ds. Essa é uma integral de linha que soma os valores de y multiplicados pelos pequenos pedaços de comprimento ao longo da curva C. Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva e calcular o diferencial de comprimento ds.

Passo 3

A curva é dada por y = 2 raizx. Vamos parametrizar em termos de x, já que o intervalo é de x = 3 a x = 24. Assim, podemos definir:
x = t
y = 2 raizt
onde t varia de 3 a 24.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o diferencial de comprimento ds. A fórmula para ds em termos de t é:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2, dt
Primeiro, calculamos as derivadas:
dxdt = 1
dydt = ddt (2 t^1/2) = 2 cdot 12 t^-1/2 = t^-1/2

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula de ds:
ds = raiz1^2 + (t^-1/2)^2, dt = raiz1 + 1t, dt
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Hmm, vamos simplificar de outra maneira:
raiz1 + 1t = raizt + 1t = raizt + 1t = raizt + 1t = raizt + 1t = raizt + 1t
Então:
1 + 1t = t + 1t

Passo 6

Agora, podemos expressar a integral original em termos de t:
integralC y, ds = integralt=3^t=24 y cdot ds = integral3^24 2 raizt cdot raiz1 + 1t, dt
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 7

Agora, a integral fica mais simples:
integral3^24 2 raizt + 1, dt
Podemos tirar o 2 da integral:
2 integral3^24 raizt + 1, dt

Passo 8

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = t + 1, então du = dt. Quando t = 3, u = 4; e quando t = 24, u = 25. A integral se torna:
2 integralu=4^u=25 raizu, du

Passo 9

Agora, integramos raizu com relação a u:
integral raizu, du = integral u^1/2, du = 23 u^3/2 + C
Portanto,
2 cdot [ 23 u^3/2 ]4^25 = 43 (u^3/2)4^25

Passo 10

Substituindo os limites de integração:
43 (25^3/2 - 4^3/2)
Calculando 25^3/2 e 4^3/2:
25^3/2 = (raiz25)^3 = 5^3 = 125
4^3/2 = (raiz4)^3 = 2^3 = 8

Passo 11

Substituindo de volta:
43 (125 - 8) = 43 times 117 = 4683 = 156

Resposta

O valor da integral integralC y, ds ao longo da curva C é 156.

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