Calcule
ao longo da curva
dada por
, de
a
.
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver o exercício onde precisamos calcular a integral de linha
ao longo da curva
definida por
, de
até
. Esse problema envolve cálculo integral e, mais especificamente, integrais de linha onde usamos parametrização e comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa é uma integral de linha que soma os valores de
multiplicados pelos pequenos pedaços de comprimento ao longo da curva
. Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva e calcular o diferencial de comprimento
.
Passo 3
A curva é dada por
. Vamos parametrizar em termos de
, já que o intervalo é de
a
. Assim, podemos definir:
onde
varia de 3 a 24.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o diferencial de comprimento
. A fórmula para
em termos de
é:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula de
:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Hmm, vamos simplificar de outra maneira:
Então:
Passo 6
Agora, podemos expressar a integral original em termos de
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, a integral fica mais simples:
Podemos tirar o 2 da integral:
Passo 8
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Quando
,
; e quando
,
. A integral se torna:
Passo 9
Agora, integramos
com relação a
:
Portanto,
Passo 10
Substituindo os limites de integração:
Calculando
e
:
Passo 11
Substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral
ao longo da curva
é 156.