\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(m+1)!}{4!m!4^{m}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(m+1)!}{4! \, m! \, 4^{m}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A soma é uma série numérica que começa em m=1.
  • No termo geral aparece o quociente de fatoriais \frac{(m+1)!}{m!}, o fator constante 4!=24 e a potência 4^{m}.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico exato dessa soma infinita.

Passo 2

Simplifico o termo geral usando cancelamento de fatoriais. Como
\frac{(m+1)!}{m!}=m+1,
temos
\frac{(m+1)!}{4! \, m! \, 4^{m}}=\frac{m+1}{4! \, 4^{m}}=\frac{1}{24}\cdot\frac{m+1}{4^{m}}.
Portanto a série fica
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(m+1)!}{4! \, m! \, 4^{m}}=\frac{1}{24}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{m+1}{4^{m}}.

Passo 3

Uso a linearidade da soma (posso somar termo a termo) para separar a soma em duas:
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{m+1}{4^{m}}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{m}{4^{m}}+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{4^{m}}.
Então
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(m+1)!}{4! \, m! \, 4^{m}}=\frac{1}{24}\left(\sum_{m=1}^{\infty}\frac{m}{4^{m}}+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{4^{m}}\right).

Passo 4

Vou apresentar as fórmulas que vou usar e explicar por que valem. Seja r um número com |r|<1.
A soma geométrica básica é
\sum_{m=0}^{\infty} r^{m}=\frac{1}{1-r}.
Derivando ambos os lados em relação a r (isso é permitido para |r|<1), obtemos
\sum_{m=1}^{\infty} m r^{m-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Multiplicando por r temos a fórmula útil
\sum_{m=1}^{\infty} m r^{m}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Aqui r é a razão da série geométrica; nas nossas somas teremos r=\frac{1}{4}. Essas fórmulas são padrões e servem para somar séries envolvendo potências e fatores lineares em m.

Passo 5

Agora aplico as fórmulas com r=\frac{1}{4}.
Calculo primeiro
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{m}{4^{m}}=\sum_{m=1}^{\infty} m\left(\frac{1}{4}\right)^{m}=\frac{\tfrac{1}{4}}{\left(1-\tfrac{1}{4}\right)^{2}}.
Faço as contas passo a passo:
1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4},
\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}=\tfrac{9}{16},
\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{9}{16}}=\tfrac{1}{4}\cdot\frac{16}{9}=\frac{4}{9}.
Portanto
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{m}{4^{m}}=\frac{4}{9}.

Passo 6

Agora a soma geométrica simples:
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{4^{m}}=\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{m}=\frac{\tfrac{1}{4}}{1-\tfrac{1}{4}}.
Calculando:
\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{3}{4}}=\frac{1}{3}.

Passo 7

Combino os resultados:
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{m+1}{4^{m}}=\frac{4}{9}+\frac{1}{3}.
Converto \tfrac{1}{3} para nonos:
\frac{1}{3}=\frac{3}{9},
logo
\frac{4}{9}+\frac{3}{9}=\frac{7}{9}.
Lembro que a série original tem fator \tfrac{1}{24}, então
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(m+1)!}{4! \, m! \, 4^{m}}=\frac{1}{24}\cdot\frac{7}{9}=\frac{7}{216}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{216}

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