Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série
Informações dadas e observações imediatas:
- A soma é uma série numérica que começa em
. - No termo geral aparece o quociente de fatoriais
, o fator constante e a potência . - O objetivo é encontrar o valor numérico exato dessa soma infinita.
Passo 2
Simplifico o termo geral usando cancelamento de fatoriais. Como
temos
Portanto a série fica
Passo 3
Uso a linearidade da soma (posso somar termo a termo) para separar a soma em duas:
Então
Passo 4
Vou apresentar as fórmulas que vou usar e explicar por que valem. Seja
um número com
.
A soma geométrica básica é
A soma geométrica básica é
Derivando ambos os lados em relação a
(isso é permitido para
), obtemos
Multiplicando por
temos a fórmula útil
Aqui
é a razão da série geométrica; nas nossas somas teremos
. Essas fórmulas são padrões e servem para somar séries envolvendo potências e fatores lineares em
.
Passo 5
Agora aplico as fórmulas com
.
Calculo primeiro
Faço as contas passo a passo:
Portanto
Passo 6
Agora a soma geométrica simples:
Calculando:
Passo 7
Combino os resultados:
Converto
para nonos:
logo
Lembro que a série original tem fator
, então