Se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^x+c2e^2x, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada.
phi(x) = 2x + 3e^8x

Passo 1

A equação homogênea associada é de segunda ordem com soluções fundamentais e^x e e^2x, ou seja, o operador é do tipo (D-1)(D-2)y=0. Vamos usar coeficientes não determinados para construir uma solução particular para L(y)=2x+3e^8x.

Passo 2

Para o termo polinomial 2x, como o expoente zero (função constante/polnômio) não está entre as raízes 1 e 2, assumimos uma solução particular do tipo yp1(x)=Ax+B, onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Para o termo exponencial 3e^8x, como 8 também não é raiz da equação característica, assumimos uma solução particular do tipo yp2(x)=Ce^8x, com C constante a determinar.

Passo 4

Pelo princípio da superposição, a solução particular geral é a soma das duas partes: yp(x)=yp1(x)+yp2(x).

Resposta

yp(x)=Ax+B+Ce^8x

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