Se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^x+c2e^2x, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada.
phi(x) = xcos 3x

Passo 1

O enunciado diz que a equação homogênea associada é de 2ª ordem com solução geral yh = c1 e^x + c2 e^2x. Isso indica que o operador L tem coeficientes constantes e polinômio característico (r-1)(r-2)=0. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar uma forma de solução particular de L(y)=xcos3x.

Passo 2

Pela teoria dos coeficientes a determinar, quando o termo não homogêneo é de forma Pn(x)cos(omega x) ou Pn(x)sin(omega x), a solução particular deve ser da forma de um polinômio de mesmo grau n em x, aplicado a cos(omega x) e a sin(omega x). Aqui P1(x)=x (grau 1) e omega=3.

Passo 3

Como as raízes do característico são r=1,2, não há ressonância com pm 3i. Logo não precisamos multiplicar por x extras. Assim a forma geral de um particular será

Passo 4

yp=(Ax+B)cos3x + (Cx+D)sin3x

Resposta

yp=(Ax+B)cos3x + (Cx+D)sin3x

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