A solução de uma equação não homogênea a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=g(t) é dada por
\varphi(t)=y_{1}(t)+y_{p}(t)
Onde y_{1} é a solução geral de a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0 e y_{p} é uma solução particular da equação não homogênea. A solução y_{p} pode ser encontrada pelo método dos coeficientes indeterminados. Este método depende da função g.
Resolva as seguintes equações.
(2°) Caso. Se g(t)=c sent ou g(t)=d \cos t, considere y_{p}(t)=A \operatorname{sen} t+B \cos t, onde A e B devem satisfazer a equação não homogênea.

Passo 1

O enunciado pede a solução particular por coeficientes indeterminados da EDO
a\,y''+b\,y'+c\,y=g(t)
nos dois casos g(t)=C\sin t e g(t)=D\cos t, assumindo
y_{p}(t)=A\sin t+B\cos t.
Para isso precisamos calcular y_p', y_p'', substituir na EDO, agrupar termos em \sin t e \cos t e igualar aos coeficientes de g(t).

Passo 2

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(t)=A\cos t - B\sin t,
y_{p}''(t)=-A\sin t - B\cos t.
Substituindo em a\,y''+b\,y'+c\,y obtém-se
a(-A\sin t - B\cos t) +b(A\cos t - B\sin t) +c(A\sin t + B\cos t).
Agrupando coeficientes em \sin t e \cos t
\bigl(-aA - bB + cA\bigr)\sin t + \bigl(-aB + bA + cB\bigr)\cos t.

Passo 3

Caso g(t)=C\sin t\): o termo em \(\sin t\) deve ser \(C\) e o termo em \(\cos t\) deve ser \(0\). Isso gera o sistema \[\begin{cases} (c - a)\,A - b\,B = C,\\\ b\,A + (c - a)\,B = 0. \end{cases}
O determinante é (\Delta=(c-a){2}+b{2}]. Resolvendo:
A = \frac{C\,(c - a)}{\Delta}, \quad B = -\,\frac{C\,b}{\Delta}.
Logo
y_{p}(t)=\frac{C\,(c - a)}{(c-a)^{2}+b^{2}}\;\sin t \;-\;\frac{C\,b}{(c-a)^{2}+b^{2}}\;\cos t.

Passo 4

Caso g(t)=D\cos t\): agora o termo em \(\sin t\) deve ser \(0\) e o termo em \(\cos t\) deve ser \(D\). Isso gera \[\begin{cases} (c - a)\,A - b\,B = 0,\\\ b\,A + (c - a)\,B = D. \end{cases}
Com o mesmo (\Delta=(c-a){2}+b{2}], obtemos
B = \frac{D\,(c - a)}{\Delta}, \quad A = \frac{D\,b}{\Delta}.
Portanto
y_{p}(t)=\frac{D\,b}{(c-a)^{2}+b^{2}}\;\sin t \;+\;\frac{D\,(c - a)}{(c-a)^{2}+b^{2}}\;\cos t.

Resposta

A solução geral é
\varphi(t)=y_{1}(t)+y_{p}(t),
onde:
Para g(t)=C\sin t:
y_{p}(t)=\frac{C\,(c - a)}{(c-a)^{2}+b^{2}}\;\sin t \;-\;\frac{C\,b}{(c-a)^{2}+b^{2}}\;\cos t.
Para g(t)=D\cos t:
y_{p}(t)=\frac{D\,b}{(c-a)^{2}+b^{2}}\;\sin t \;+\;\frac{D\,(c - a)}{(c-a)^{2}+b^{2}}\;\cos t.

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