A solução de uma equação não homogênea a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=g(t) é dada por
\varphi(t)=y_{1}(t)+y_{p}(t)
Onde y_{1} é a solução geral de a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0 e y_{p} é uma solução particular da equação não homogênea. A solução y_{p} pode ser encontrada pelo método dos coeficientes indeterminados. Este método depende da função g.
Resolva as seguintes equações.
a) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 e^{2 t}

Passo 1

Estamos resolvendo a equação não homogênea
y'' - 2y' - 3y = 3 e^{2t}
que é uma ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é da forma
\varphi(t) = y_{1}(t) + y_{p}(t),
onde y_{1} resolve a homogênea e y_{p} é uma particular obtida por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para achar y_{1}, resolvemos a homogênea
y'' - 2y' - 3y = 0.
A equação característica é
r^{2} - 2r - 3 = 0,
cuja raízes são
r = 3,\quad r = -1.
Logo
y_{1}(t) = C_{1}e^{3t} + C_{2}e^{-t}.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 3e^{2t} e 2 não é raiz da característica, usamos o palpite
y_{p}(t) = A e^{2t}.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}' = 2A e^{2t}, \quad y_{p}'' = 4A e^{2t}.
Substituindo em y'' - 2y' - 3y:
4A e^{2t} - 2\bigl(2A e^{2t}\bigr) - 3\bigl(A e^{2t}\bigr) = \bigl(4A - 4A - 3A\bigr)e^{2t} = -3A\,e^{2t}.
Para igualar a 3e^{2t}, impomos
-3A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A = -1.
Assim
y_{p}(t) = -e^{2t}.

Passo 5

Somando as partes, a solução geral é
\varphi(t) = C_{1}e^{3t} + C_{2}e^{-t} - e^{2t}.

Resposta

\varphi(t) = C_{1}e^{3t} + C_{2}e^{-t} - e^{2t}.

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