A solução de uma equação não homogênea a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=g(t) é dada por
\varphi(t)=y_{1}(t)+y_{p}(t)
Onde y_{1} é a solução geral de a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0 e y_{p} é uma solução particular da equação não homogênea. A solução y_{p} pode ser encontrada pelo método dos coeficientes indeterminados. Este método depende da função g.
Resolva as seguintes equações.
(2°) Caso. Se g(t)=e^{c t}, suponha que y_{p}(t)=A e^{c t}, onde a constante A deve ser tal que y_{p}(t) satisfaz a equação não homogênea.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação não homogênea
a\,y'' + b\,y' + c\,y = e^{c t},
ou seja, \varphi(t)=y_1(t)+y_p(t), onde y_1 é a solução geral da homogênea
a\,y'' + b\,y' + c\,y=0
e y_p é uma particular. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados supondo
y_p(t)=A\,e^{c t},
com constante A a determinar.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(t)=A\,c\,e^{c t}, \quad y_p''(t)=A\,c^2\,e^{c t}.

Passo 3

Substituímos em a\,y''+b\,y'+c\,y=e^{c t}:
a\bigl(A\,c^2\,e^{c t}\bigr) + b\bigl(A\,c\,e^{c t}\bigr) + c\bigl(A\,e^{c t}\bigr) = e^{c t}.
Fatorando A\,e^{c t} do lado esquerdo:
A\,e^{c t}\bigl(a\,c^2 + b\,c + c\bigr)=e^{c t}.

Passo 4

Como e^{c t}\neq0, obtemos
A\bigl(a\,c^2 + b\,c + c\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{1}{a\,c^2 + b\,c + c}.
Logo
y_p(t)=\frac{e^{c t}}{a\,c^2 + b\,c + c},
desde que a\,c^2+b\,c+c\neq0.

Passo 5

A solução geral da homogênea é
y_1(t)=C_1\,e^{r_1 t}+C_2\,e^{r_2 t},
onde
r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}.
Portanto, a solução completa é
\varphi(t) = C_1\,e^{r_1 t}+C_2\,e^{r_2 t} + \frac{e^{c t}}{a\,c^2 + b\,c + c}.

Resposta

\varphi(t) = C_1\,e^{\tfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,t} + C_2\,e^{\tfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,t} + \frac{e^{c t}}{a\,c^2 + b\,c + c}.

Exercícios relacionados