A solução da inequação 1x+12 x-1>2 é igual a :
(A) x<0 ou 14 ou x>1
(B) 0 ou x>1
© 0 ou 12
(D) 14 ou x>1
(E) 0 ou x>1

Passo 1

Vamos resolver a inequação 1x + 12x - 1 > 2. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores de $ x $ que tornam essa expressão verdadeira. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, como operações com frações e resolução de inequações.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio da inequação, ou seja, os valores de $ x $ para os quais a expressão está definida. Observamos que os denominadores não podem ser zero:
x

Passo 3

Agora, vamos somar as frações:
1x + 12x - 1 > 2
Para somar as frações, encontramos um denominador comum, que é $ x(2x - 1) $:
x(2x - 1)

Passo 4

Subtraímos 2 de ambos os lados para formar uma única fração:
3x - 1x(2x - 1) - 2 > 0
Convertendo 2 para ter o mesmo denominador:
3x - 1 - 2x(2x - 1)x(2x - 1) > 0
Simplificando o numerador:
3x - 1 - 4x^2 + 2x = -4x^2 + 5x - 1
Então, temos:
-4x^2 + 5x - 1x(2x - 1) > 0

Passo 5

Multiplicamos o numerador e o denominador por -1 (lembrando que ao multiplicar ou dividir por um número negativo a desigualdade inverte o sinal):
4x^2 - 5x + 1x(2x - 1) < 0

Passo 6

Fatoramos o numerador:
4x^2 - 5x + 1 = (4x - 1)(x - 1)
A inequação fica:
(4x - 1)(x - 1)x(2x - 1) < 0

Passo 7

Identificamos os pontos críticos, onde a expressão é zero ou indefinida:
4x - 1 = 0 Rightarrow x = 14 x - 1 = 0 Rightarrow x = 1 x = 0 2x - 1 = 0 Rightarrow x = 12
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos que vamos analisar.

Passo 8

Analisamos o sinal da expressão em cada intervalo:
  1. $ x < 0 $: Testando $ x = -1 $, a expressão é positiva.
  2. $ 0 < x < \frac{1}{4} $: Testando $ x = \frac{1}{8} $, a expressão é negativa.
  3. $ \frac{1}{4} < x < \frac{1}{2} $: Testando $ x = \frac{1}{3} $, a expressão é positiva.
  4. $ \frac{1}{2} < x < 1 $: Testando $ x = \frac{3}{4} $, a expressão é negativa.
  5. $ x > 1 $: Testando $ x = 2 $, a expressão é positiva.

Passo 9

Selecionamos os intervalos onde a expressão é negativa:
0 < x < 14 e x > 1

Resposta

A resposta correta é a alternativa (E) $ 0 < x < \frac{1}{4} $ ou $ x > 1 $.

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