A solução da inequação
é igual a :
(A)
ou
ou
(B)
ou
©
ou
(D)
ou
(E)
ou
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Vamos resolver a inequação
. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores de $ x $ que tornam essa expressão verdadeira. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, como operações com frações e resolução de inequações.
Passo 2
Primeiro, identificamos o domínio da inequação, ou seja, os valores de $ x $ para os quais a expressão está definida. Observamos que os denominadores não podem ser zero:
Passo 3
Agora, vamos somar as frações:
Para somar as frações, encontramos um denominador comum, que é $ x(2x - 1) $:
Passo 4
Subtraímos 2 de ambos os lados para formar uma única fração:
Convertendo 2 para ter o mesmo denominador:
Simplificando o numerador:
Então, temos:
Passo 5
Multiplicamos o numerador e o denominador por -1 (lembrando que ao multiplicar ou dividir por um número negativo a desigualdade inverte o sinal):
Passo 6
Fatoramos o numerador:
A inequação fica:
Passo 7
Identificamos os pontos críticos, onde a expressão é zero ou indefinida:
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos que vamos analisar.
Passo 8
Analisamos o sinal da expressão em cada intervalo:
- $ x < 0 $: Testando $ x = -1 $, a expressão é positiva.
- $ 0 < x < \frac{1}{4} $: Testando $ x = \frac{1}{8} $, a expressão é negativa.
- $ \frac{1}{4} < x < \frac{1}{2} $: Testando $ x = \frac{1}{3} $, a expressão é positiva.
- $ \frac{1}{2} < x < 1 $: Testando $ x = \frac{3}{4} $, a expressão é negativa.
- $ x > 1 $: Testando $ x = 2 $, a expressão é positiva.
Passo 9
Selecionamos os intervalos onde a expressão é negativa:
Resposta
A resposta correta é a alternativa (E) $ 0 < x < \frac{1}{4} $ ou $ x > 1 $.