A solução da inequação
, para
, é o conjunto
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar todos os
em
que satisfazem a inequação
Informações relevantes dadas:
- O domínio considerado é
. - A expressão envolve
, (indiretamente via ) e . -
está definida em todo porque o ponto não pertence ao intervalo (lá seria indefinida). - A pergunta é: quais valores de
nesse intervalo tornam a fração estritamente maior que e estritamente menor que ?
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica usando identidades trigonométricas clássicas. As identidades que vamos usar e o que significam:
-
. Aqui é o seno do ângulo duplo . -
. Lembre que em (pois nesse intervalo, exceto em ); mas não faz parte do domínio dado).
Agora calcule o numerador:
E o denominador:
Portanto a fração original fica
Podemos cancelar o fator
desde que ele seja diferente de zero. Observação importante sobre o cancelamento:
- No intervalo
temos e , logo para todo do intervalo. Portanto o cancelamento é legal (não isola nenhum ponto do domínio).
Após cancelar obtemos
Assim a inequação reduz-se a
com
.
Passo 3
Agora vamos resolver a inequação
sabendo que
.
Faça a substituição
. Então
(porque
e
, mas
não é atingido já que
). A inequação fica
Conhecimentos sobre a função seno no intervalo
:
-
em e em (este último não está no intervalo aberto em aqui). -
para todo em . -
somente em dentro de .
Portanto a condição
significa que
deve estar em
(para garantir
) e também não pode ser
(pois aí
violaria a parte
). Logo
Voltando para
com
, obtemos
Isto é, todos os
estritamente entre
e
, exceto
(onde
e a desigualdade superior falha).
Passo 4
Verificações finais e comentários para a prova (como checar rapidamente):
- Em
a fração original vale , então não satisfaz a desigualdade estrita . Logo está excluído. - Em
a fração original vale (pois numerador e denominador ambos iguais a ), então não satisfaz a condição estrita . Logo está excluído. - Para qualquer
em a expressão simplifica para com , onde o seno é positivo e menor que . Portanto esses satisfazem a inequação. - Conclusão final: a solução é exatamente