A solução da inequação 0<\frac{2 \operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{sen} 2 x}{1+\operatorname{tg} x}<1, para x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right), é o conjunto
a) \left[0, \frac{\pi}{4}\right)
b) \left(0, \frac{\pi}{4}\right)
c) \left[0, \frac{\pi}{2}\right)
d) \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os x em \left[0,\frac{\pi}{2}\right) que satisfazem a inequação
0<\frac{2\operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{sen}2x}{1+\operatorname{tg}x}<1.
Informações relevantes dadas:
  • O domínio considerado é x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right).
  • A expressão envolve \operatorname{sen}x, \operatorname{cos}x (indiretamente via \operatorname{tg}x) e \operatorname{sen}2x.
  • \operatorname{tg}x está definida em todo \left[0,\frac{\pi}{2}\right) porque o ponto x=\frac{\pi}{2} não pertence ao intervalo (lá \operatorname{tg} seria indefinida).
  • A pergunta é: quais valores de x nesse intervalo tornam a fração estritamente maior que 0 e estritamente menor que 1?

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica usando identidades trigonométricas clássicas. As identidades que vamos usar e o que significam:
  • \operatorname{sen}2x = 2\operatorname{sen}x\operatorname{cos}x. Aqui \operatorname{sen}2x é o seno do ângulo duplo 2x.
  • \operatorname{tg}x=\dfrac{\operatorname{sen}x}{\operatorname{cos}x}. Lembre que \operatorname{cos}x\neq0 em \left[0,\frac{\pi}{2}\right) (pois \operatorname{cos}x>0 nesse intervalo, exceto em \frac{\pi}{2); mas \frac{\pi}{2} não faz parte do domínio dado).
Agora calcule o numerador:
2\operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{sen}2x =2\operatorname{sen}^{2}x + 2\operatorname{sen}x\operatorname{cos}x =2\operatorname{sen}x\big(\operatorname{sen}x+\operatorname{cos}x\big).
E o denominador:
1+\operatorname{tg}x = 1 + \frac{\operatorname{sen}x}{\operatorname{cos}x} = \frac{\operatorname{cos}x+\operatorname{sen}x}{\operatorname{cos}x}.
Portanto a fração original fica
\frac{2\operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{sen}2x}{1+\operatorname{tg}x} = \frac{2\operatorname{sen}x\big(\operatorname{sen}x+\operatorname{cos}x\big)}{\dfrac{\operatorname{cos}x+\operatorname{sen}x}{\operatorname{cos}x}} =2\operatorname{sen}x\big(\operatorname{sen}x+\operatorname{cos}x\big)\cdot\frac{\operatorname{cos}x}{\operatorname{sen}x+\operatorname{cos}x}.
Podemos cancelar o fator \operatorname{sen}x+\operatorname{cos}x desde que ele seja diferente de zero. Observação importante sobre o cancelamento:
  • No intervalo \left[0,\frac{\pi}{2}\right) temos \operatorname{sen}x\ge0 e \operatorname{cos}x>0, logo \operatorname{sen}x+\operatorname{cos}x>0 para todo x do intervalo. Portanto o cancelamento é legal (não isola nenhum ponto do domínio).
    Após cancelar obtemos
\frac{2\operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{sen}2x}{1+\operatorname{tg}x}=2\operatorname{sen}x\operatorname{cos}x=\operatorname{sen}2x.
Assim a inequação reduz-se a
0<\operatorname{sen}2x<1,
com x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right).

Passo 3

Agora vamos resolver a inequação \;0<\operatorname{sen}2x<1\; sabendo que x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right).
Faça a substituição y=2x. Então y\in\left[0,\pi\right) (porque 2\cdot0=0 e 2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi, mas \pi não é atingido já que x<\frac{\pi}{2}). A inequação fica
0<\operatorname{sen}y<1,\qquad y\in[0,\pi).
Conhecimentos sobre a função seno no intervalo [0,\pi):
  • \operatorname{sen}y=0 em y=0 e em y=\pi (este último não está no intervalo aberto em \pi aqui).
  • \operatorname{sen}y>0 para todo y em (0,\pi).
  • \operatorname{sen}y=1 somente em y=\frac{\pi}{2} dentro de [0,\pi).
Portanto a condição 0<\operatorname{sen}y<1 significa que y deve estar em (0,\pi) (para garantir \operatorname{sen}y>0) e também não pode ser y=\frac{\pi}{2} (pois aí \operatorname{sen}y=1 violaria a parte "<1"). Logo
y\in (0,\pi)\setminus\left\{\tfrac{\pi}{2}\right\} = (0,\tfrac{\pi}{2})\cup(\tfrac{\pi}{2},\pi).
Voltando para x com x=y/2, obtemos
x\in\left(0,\tfrac{\pi}{4}\right)\cup\left(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right).
Isto é, todos os x estritamente entre 0 e \frac{\pi}{2}, exceto x=\frac{\pi}{4} (onde \operatorname{sen}2x=1 e a desigualdade superior falha).

Passo 4

Verificações finais e comentários para a prova (como checar rapidamente):
  • Em x=0 a fração original vale 0, então não satisfaz a desigualdade estrita 0<\cdots. Logo x=0 está excluído.
  • Em x=\frac{\pi}{4} a fração original vale 1 (pois numerador e denominador ambos iguais a 2), então não satisfaz a condição estrita <1. Logo x=\frac{\pi}{4} está excluído.
  • Para qualquer x em \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right) a expressão simplifica para \operatorname{sen}2x com 2x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right), onde o seno é positivo e menor que 1. Portanto esses x satisfazem a inequação.
  • Conclusão final: a solução é exatamente
\left(0,\tfrac{\pi}{4}\right)\cup\left(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right).

Resposta

\left(0,\tfrac{\pi}{4}\right)\cup\left(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right)

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