Resolva a inequação \frac{1}{4} \leq \cos x \cdot \operatorname{sen} x<\frac{\sqrt{2}}{2}, em que x \in[0, \pi].
a) \left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6}\right)
b) ] \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{3}[
c) \left[\frac{5 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{6}\right]
d) \left[\frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a inequação \frac{1}{4} \leq \cos x \cdot \operatorname{sen} x < \frac{\sqrt{2}}{2} com a restrição x \in [0,\pi].
O que pede: determinar todos os x em [0,\pi] que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes dadas: os coeficientes são constantes e o produto envolve \cos x e \operatorname{sen} x (seno de x).

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica de ângulo duplo: \sin 2x = 2\sin x\cos x. Essa identidade vem da soma de ângulos: \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b; tomando a=b=x obtemos \sin 2x=2\sin x\cos x.
Logo podemos escrever
\sin x\cos x = \tfrac{1}{2}\sin 2x.
Essa substituição é útil porque transforma o produto em função de um único seno com ângulo 2x.

Passo 3

Substituindo na inequação:
\frac{1}{4} \leq \tfrac{1}{2}\sin 2x < \frac{\sqrt{2}}{2}.
Multiplicando todos os termos por 2 (número positivo, então a desigualdade mantém a direção), obtemos
\frac{1}{2} \leq \sin 2x < \sqrt{2}.

Passo 4

Observação importante sobre o limite superior: \sqrt{2}\approx 1,414, e sabemos que para qualquer ângulo y vale -1\le \sin y\le 1. Portanto a condição \sin 2x<\sqrt{2} é sempre verdadeira (pois \sin 2x\le 1<\sqrt{2}). Assim a única restrição relevante passa a ser
\sin 2x \ge \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Faça a substituição t=2x. Como x\in[0,\pi], temos t\in[0,2\pi]. Precisamos resolver
\sin t \ge \tfrac{1}{2},\quad t\in[0,2\pi].
A equação \sin t=\tfrac{1}{2} tem soluções fundamentais t=\tfrac{\pi}{6}+2k\pi e t=\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi. No intervalo principal [0,2\pi], a função seno é maior ou igual a \tfrac{1}{2} exatamente entre as primeiras duas interseções, isto é em
t\in\left[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\right].
(Geometricamente, o gráfico da seno sobe até 1 em t=\tfrac{\pi}{2} e fica acima de \tfrac{1}{2} entre essas duas abscissas.)

Passo 6

Voltando para x com x=t/2, obtemos
x\in\left[\tfrac{\pi}{12},\tfrac{5\pi}{12}\right].
Verificação das bordas: para x=\tfrac{\pi}{12} temos \sin 2x=\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2}, então \cos x\sin x=\tfrac{1}{4} (igualdade permitida). Para x=\tfrac{5\pi}{12} também \sin 2x=\tfrac{1}{2} e a desigualdade de baixo é satisfeita. A condição superior continua sempre satisfeita.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a solução corresponde à alternativa d).

Resposta

\left[\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}\right]

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