Resolva a inequação
, em que
.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá a inequação
com a restrição
.
O que pede: determinar todos os em
que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes dadas: os coeficientes são constantes e o produto envolve e
(seno de
).
O que pede: determinar todos os
Informações relevantes dadas: os coeficientes são constantes e o produto envolve
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica de ângulo duplo:
. Essa identidade vem da soma de ângulos:
; tomando
obtemos
.
Logo podemos escrever
Logo podemos escrever
Essa substituição é útil porque transforma o produto em função de um único seno com ângulo
.
Passo 3
Substituindo na inequação:
Multiplicando todos os termos por
(número positivo, então a desigualdade mantém a direção), obtemos
Passo 4
Observação importante sobre o limite superior:
, e sabemos que para qualquer ângulo
vale
. Portanto a condição
é sempre verdadeira (pois
). Assim a única restrição relevante passa a ser
Passo 5
Faça a substituição
. Como
, temos
. Precisamos resolver
A equação
tem soluções fundamentais
e
. No intervalo principal
, a função seno é maior ou igual a
exatamente entre as primeiras duas interseções, isto é em
(Geometricamente, o gráfico da seno sobe até
em
e fica acima de
entre essas duas abscissas.)
Passo 6
Voltando para
com
, obtemos
Verificação das bordas: para
temos
, então
(igualdade permitida). Para
também
e a desigualdade de baixo é satisfeita. A condição superior continua sempre satisfeita.
Passo 7
Comparando com as alternativas fornecidas, a solução corresponde à alternativa d).