Para cada uma das seguintes reações em fase gasosa, indique como a velocidade de desaparecimento de cada reagente está relacionada à velocidade de aparecimento de cada produto:
2 \mathrm{SO}_{2}(\mathrm{~g})+\mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g}) \rightarrow 2 \mathrm{SO}_{3}(\mathrm{~g})

Passo 1

O enunciado dá a reação em fase gasosa
2\\ \mathrm{SO}_2(\mathrm{g}) + \mathrm{O}_2(\mathrm{g}) \rightarrow 2\\ \mathrm{SO}_3(\mathrm{g}).
O que é pedido: indicar como a velocidade de desaparecimento de cada reagente se relaciona com a velocidade de aparecimento de cada produto — ou seja, escrever as equações que ligam \dfrac{d[\mathrm{SO}_2]}{dt}, \dfrac{d[\mathrm{O}_2]}{dt} e \dfrac{d[\mathrm{SO}_3]}{dt}. Informações relevantes fornecidas: os coeficientes estequiométricos são 2 para \mathrm{SO}_2, 1 para \mathrm{O}_2 e 2 para \mathrm{SO}_3.

Passo 2

Conceito e convenção de sinais (explicação didática, passo a passo).
  • A velocidade (taxa) da reação é uma grandeza que mede “quantas reações fundamentais por unidade de tempo” estão ocorrendo, mas na prática a ligamos às variações de concentração das espécies envolvidas.
  • Por convenção escolhemos uma definição que dá uma única velocidade da reação r relacionada a qualquer espécie: para a reação genérica aA + bB \rightarrow cC + dDdefine-se r = -\dfrac{1}{a}\dfrac{d[A]}{dt} = -\dfrac{1}{b}\dfrac{d[B]}{dt} = \dfrac{1}{c}\dfrac{d[C]}{dt} = \dfrac{1}{d}\dfrac{d[D]}{dt}.
  • Por que o sinal menos nos reagentes? Porque \dfrac{d[A]}{dt} e \dfrac{d[B]}{dt} são negativos (as concentrações diminuem), então o sinal menos transforma isso numa velocidade positiva r para a reação direta. Para produtos, \dfrac{d[C]}{dt} e \dfrac{d[D]}{dt} são positivos, por isso não há sinal menos.
  • O fator 1/a, 1/b, etc., serve para “normalizar” pela estequiometria: se cada reação consome 2 mols de A por evento reage, a variação de [A] é duas vezes a variação do número de eventos — dividir por a dá a taxa de eventos.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso dado.
  • Para a reação 2\\ \mathrm{SO}_2 + \mathrm{O}_2 \rightarrow 2\\ \mathrm{SO}_3use a regra com a=2 para \mathrm{SO}_2, b=1 para \mathrm{O}_2 e c=2 para \mathrm{SO}_3. Assim a velocidade r é r = -\dfrac{1}{2}\dfrac{d[\mathrm{SO}_2]}{dt} = -\dfrac{d[\mathrm{O}_2]}{dt} = \dfrac{1}{2}\dfrac{d[\mathrm{SO}_3]}{dt}.
  • A partir dessa igualdade podemos rearranjar para escrever diretamente as relações entre as derivadas:
    • Relacionando \mathrm{SO}_2 e \mathrm{O}_2: -\dfrac{d[\mathrm{SO}_2]}{dt} = 2\left(-\dfrac{d[\mathrm{O}_2]}{dt}\right)ou equivalentemente -\dfrac{d[\mathrm{O}_2]}{dt} = \dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{d[\mathrm{SO}_2]}{dt}\right).
    • Relacionando \mathrm{SO}_2 e \mathrm{SO}_3: \dfrac{d[\mathrm{SO}_3]}{dt} = -\dfrac{d[\mathrm{SO}_2]}{dt}.
    Essas fórmulas vêm diretamente de igualar as expressões para r.

Passo 4

Exemplo numérico concreto (para você ver como aplicar na prova).
  • Suponha que me seja dado que a velocidade de desaparecimento de \mathrm{SO}_2 é -\dfrac{d[\mathrm{SO}_2]}{dt}=0,010\\ \mathrm{M\,s^{-1}}. Então:
    • A velocidade de desaparecimento de \mathrm{O}_2 é -\dfrac{d[\mathrm{O}_2]}{dt}=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{d[\mathrm{SO}_2]}{dt}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot 0,010=0,005\\ \mathrm{M\,s^{-1}}.
    • A velocidade de aparecimento de \mathrm{SO}_3 é \dfrac{d[\mathrm{SO}_3]}{dt}=-\dfrac{d[\mathrm{SO}_2]}{dt}=0,010\\ \mathrm{M\,s^{-1}}.
  • Se, ao contrário, soubesse \dfrac{d[\mathrm{SO}_3]}{dt}, para achar -\dfrac{d[\mathrm{O}_2]}{dt} faria -\dfrac{d[\mathrm{O}_2]}{dt} = \dfrac{1}{2}\dfrac{d[\mathrm{SO}_3]}{dt}.

Passo 5

Dicas práticas para a prova (resumo curto e amigo):
  • Escreva a definição geral r = -\dfrac{1}{\nu_i}\dfrac{d[X_i]}{dt} e aplique os coeficientes estequiométricos.
  • Lembre: reatores (consumo) têm sinal negativo nas derivadas; produtos têm positivo. Usar o fator 1/coeficiente para “corrigir” a taxa.
  • Se esquecer a forma exata, faça uma checagem rápida: coeficiente maior → variação absoluta por tempo maior; por exemplo, se \mathrm{SO}_2 tem coeficiente 2 e \mathrm{O}_2 tem coeficiente 1, então -d[\mathrm{SO}_2]/dt será o dobro de -d[\mathrm{O}_2]/dt.

Resposta

-\dfrac{1}{2}\dfrac{d[\mathrm{SO}_2]}{dt} = -\dfrac{d[\mathrm{O}_2]}{dt} = \dfrac{1}{2}\dfrac{d[\mathrm{SO}_3]}{dt}

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