Qual a solução particular da equação de um objeto em queda livre, sem resistência do ar, quando o objeto parte do solo com uma velocidade vertical positiva v0 ? Existe algum instante no qual a velocidade do objeto, antes de voltar ao solo, é zero?

Passo 1

O enunciado pede a solução particular da trajetória de um objeto em queda livre (sem resistência do ar), lançado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial positiva v0, e quer saber se há algum instante em que a velocidade seja zero antes do objeto retornar ao solo. O conteúdo envolvido é a cinemática com aceleração constante (gravidade) e vamos precisar resolver a equação diferencial d^2ydt^2 = -g sujeita a y(0)=0 e y'(0)=v0.

Passo 2

Começamos integrando a aceleração para obter a velocidade. Como d^2ydt^2=-g, ao integrar uma vez em relação a t temos
v(t)=y'(t)=-g,t+C1
Aplicamos a condição inicial v(0)=v0 para achar C1:
v(0)=C1=v0,
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v(t)=v0 - g,t

Passo 3

Agora integramos a velocidade para obter a posição. Temos
y(t)=integral v(t),dt=integral (v0 - g,t),dt = v0,t - g2t^2 + C2
Usando y(0)=0, obtemos C2=0, então
y(t)=v0,t - 12g,t^2

Passo 4

Para saber se existe um instante em que a velocidade zera antes de o objeto voltar ao solo, basta resolver v(t)=0:
v0 - g,t=0 Rightarrow t=v0g
Esse instante corresponde ao ponto de altura máxima, antes do retorno ao solo.

Resposta

As soluções particulares são
v(t)=v0-g,t,
y(t)=v0,t-tfrac12g,t^2
Sim. A velocidade fica zero em
t=v0g,
que é o instante de altura máxima antes do objeto voltar ao solo.

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