Calcule a velocidade das curvas parametrizadas abaixo:
alpha(t)=(t-sin t, 1-cos t, 0);

Passo 1

Temos a curva parametrizada alpha(t)=(t-sin t,,1-cos t,,0). O conteúdo é cálculo de velocidade de curva, que é a norma da derivada, ou seja, v(t)=|alpha'(t)|. Vamos precisar derivar cada componente e aplicar a definição de norma em R^3.

Passo 2

Derivando componente a componente:
x'(t)=1-cos t, y'(t)=sin t, z'(t)=0,
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alpha'(t)=(1-cos t,,sin t,,0)

Passo 3

Calculamos a norma:
v(t)=raiz(1-cos t)^2+sin^2 t+0^2

Passo 4

Expandindo e usando a identidade trigonométrica 1-cos t=2sin^2l(tfrac t2r):
(1-cos t)^2+sin^2 t=1-2cos t+cos^2 t+sin^2 t=2-2cos t=2(1-cos t)=4sin^2l(tfrac t2r)

Passo 5

Portanto, pela definição de raiz quadrada,
v(t)=raiz4sin^2l(tfrac t2r)=2l|sinl(tfrac t2r)r|

Resposta

A velocidade é v(t)=2l|sinl(tfrac t2r)r|.

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