Qual a solução particular da equação de um objeto em queda livre, sem resistência do ar, quando o objeto parte do solo com uma velocidade vertical positiva v0 ? Quanto tempo leva para o objeto voltar ao solo?
Existe algum instante no qual a velocidade do objeto, antes de voltar ao solo, é zero?

Passo 1

O exercício pede para encontrar a solução particular da equação de movimento vertical de um objeto em queda livre (sem atrito do ar), partindo do solo com velocidade inicial para cima de valor v0. Vamos usar a matéria de equações diferenciais simples aplicadas a movimento uniformemente acelerado, sabendo que a aceleração é constante igual a -g.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação diferencial do movimento:
y''(t) = -g

Passo 3

Integramos uma vez para achar a velocidade v(t)=y'(t). Como y'(0)=v0,
y'(t)=v(t) = v0 - g,t

Passo 4

Integramos de novo para achar a posição y(t). Sabendo que y(0)=0, temos
y(t)=integral (v0 - g,t),dt = v0t - tfrac12 g,t^2

Passo 5

Para achar o tempo de retorno ao solo, impomos y(T)=0 com T>0:
v0T - tfrac12 g,T^2 = 0 Longrightarrow Tl(v0 - tfrac12 g,Tr)=0

Passo 6

A solução não trivial é
T = 2v0g

Passo 7

Por fim, perguntam se houve instante em que a velocidade fica zero antes de voltar ao solo. Solucionamos v(t)=0:
v0 - g,tapex = 0 Longrightarrow tapex = v0g,
que é menor que T. Portanto existe esse instante de velocidade zero no ponto mais alto da trajetória.

Resposta

Solução particular: y(t)=v0t-tfrac12>^2 e v(t)=v0->.
Tempo de retorno: T=2v0/g.
Sim: a velocidade é zero no instante t=v0/g, no ponto mais alto da subida.

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