(x^-1+y^2)+2(x y^2) y^prime=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem (x^-1+y^2) + 2(x y^2)y' = 0 com condição inicial y(0)=1. O conteúdo aqui é reconhecer que se trata de uma equação de Bernoulli e vamos precisar usar a substituição que transforma esse tipo em uma equação linear.

Passo 2

Primeiro, isolamos y'. Dividindo toda a equação por 2xy^2 (supondo xneq0, yneq0), obtemos
y' + 12x,y = -12x^2y^2
Isso mostra que está no formato padrão de Bernoulli
y' + P(x)y = Q(x),y^n,
com P(x)=tfrac12x, Q(x)=-tfrac12x^2 e n=-2.

Passo 3

Para resolver a equação de Bernoulli usamos a substituição v = y^1 - n = y^1-(-2) = y^3. Calculamos então
dvdx = 3y^2y'
Multiplicando a equação original (na forma isolada) por 3y^2, fica
3y^2y' + 32xy^3 = -32x^2
Ou seja,
dvdx + 32xv = -32x^2

Passo 4

Agora resolvemos a linear para v. O fator integrante é
mu(x) = e^integral 32xdx = x^3/2
Multiplicando a equação por x^3/2 e integrando,
ddxl(x^3/2vr) = -32x^-1/2
x^3/2v = integral -32x^-1/2dx = -3x^1/2 + C
Assim
y^3 = v = -3x + Cx^-3/2

Passo 5

Olhando a condição y(0)=1, vemos que a equação original nem está definida em x=0 (vai aparecer x^-1). Ou seja, não faz sentido impor condição inicial em um ponto singular. Portanto não há como determinar uma constante C nem obter uma solução válida que passe por x=0.

Resposta

O problema não admite solução com a condição inicial em x=0, pois a equação diferencial é singular nesse ponto e não podemos aplicar y(0)=1.

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