O enunciado pede:
(a) deduzir a fórmula de C_n;
(b) calcular u(x,y) supondo f(y)=1 em 0\le y\le 2 para os parâmetros a=b=2.
Listei claramente o que é dado (PDE, condições de contorno, forma da solução) e o que é pedido ((a) e (b)). Agora vamos aos passos de dedução e cálculo, com calma e explicações.]
Passo 2
Ideia básica (sem pular etapas): o coeficiente C_n aparece porque ao impor a condição de contorno em x=a temos uma expansão em série trigonométrica em y. Escrevendo a condição u(a,y)=f(y) usando a forma dada:
Isto mostra que os senos \sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right) aparecem como uma base ortogonal para funções em [0,b] com valor zero nas extremidades y=0 e y=b. Então f deve ser representada por uma série de senos (uma série de Fourier seno) e C_n\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi a}{b}\right) será o coeficiente da expansão de f na base \{\sin(n\pi y/b)\}_{n\ge1}.
Passo 3
Propriedade de ortogonalidade (explicação didática):
A família \{\sin(n\pi y/b)\}_{n=1}^\infty\) é ortogonal em \([0,b]\), com produto interno definido por \(\langle g,h\rangle=\int_{0}^{b} g(y)h(y)\,dy\). A fórmula de ortogonalidade é
\[\int_{0}^{b}\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right)\sin\!\left(\dfrac{m\pi y}{b}\right)dy= \begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \dfrac{b}{2},& n=m. \end{cases}
Explicando por que: ao integrar o produto de senos com frequências diferentes, obtém-se termos que se cancelam por simetria (ou usando identidades trigonométricas), e quando as frequências coincidem o integral dá um valor positivo \dfrac{b}{2}\]. Essa ortogonalidade permite isolar cada coeficiente da expansão de \(f.]
Passo 4
Formulação para os coeficientes da série (passo a passo):
Da igualdade
Comentário motivador: essa é a fórmula padrão para coeficientes de uma série de Fourier seno ajustada ao fator \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi a}{b}\right) que vem da solução em x.
Passo 5
Agora parte (b): dados f(y)=1 em 0\le y\le 2 e a=b=2. Vou calcular os coeficientes C_n usando a fórmula encontrada. Substituindo a=b=2 na fórmula,
Calcular a integral explicitamente (etapas detalhadas):
Faça a substituição t=\dfrac{n\pi y}{2} então dy=\dfrac{2}{n\pi}\,dt. Quando y=0 tem t=0; quando y=2 tem t=n\pi. Assim
Essa é a forma final da solução no caso pedido. Pequeno lembrete prático: na prova, ao ver f(y) constante num intervalo e bases \sin(n\pi y/b), procure logo pela seleção de par/ímpar — geralmente muitos coeficientes se anulam por simetria.