A solução do problema
\begin{cases}u_{x x}+u_{y y} & =0, \quad 0 \leq x \leq a, \quad 0 \leq y \leq b \\\ u(x, 0)=u(x, b)=u(0, y) & =0, \quad u(a, y)=f(y)\end{cases}
é dada por
u(x, y)=\sum_{n=1}^{\infty} C_{n} \operatorname{senh}\left(\frac{n \pi x}{b}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi y}{b}\right)
onde
C_{n}=\frac{2}{b \operatorname{senh}\left(\frac{n \pi a}{b}\right)} \int_{0}^{b} f(y) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi y}{b}\right) d y
(a) Deduza a fórmula de C_{n}.
(b) Calcule u(x, y) supondo que f(y)=1, \quad 0 \leq y \leq 2 para a=b=2.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de Dirichlet no retângulo e dá a forma da solução por séries:
\begin{cases} u_{xx}+u_{yy}=0, & 0\le x\le a,\;0\le y\le b,\\[4pt] u(x,0)=u(x,b)=u(0,y)=0, & u(a,y)=f(y). \end{cases}
A solução apresentada é
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} C_n\,\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi x}{b}\right)\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right).
O enunciado pede:
(a) deduzir a fórmula de C_n;
(b) calcular u(x,y) supondo f(y)=1 em 0\le y\le 2 para os parâmetros a=b=2.
Listei claramente o que é dado (PDE, condições de contorno, forma da solução) e o que é pedido ((a) e (b)). Agora vamos aos passos de dedução e cálculo, com calma e explicações.]

Passo 2

Ideia básica (sem pular etapas): o coeficiente C_n aparece porque ao impor a condição de contorno em x=a temos uma expansão em série trigonométrica em y. Escrevendo a condição u(a,y)=f(y) usando a forma dada:
f(y)=u(a,y)=\sum_{n=1}^{\infty} C_n\,\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi a}{b}\right)\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right).
Isto mostra que os senos \sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right) aparecem como uma base ortogonal para funções em [0,b] com valor zero nas extremidades y=0 e y=b. Então f deve ser representada por uma série de senos (uma série de Fourier seno) e C_n\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi a}{b}\right) será o coeficiente da expansão de f na base \{\sin(n\pi y/b)\}_{n\ge1}.

Passo 3

Propriedade de ortogonalidade (explicação didática):
A família \{\sin(n\pi y/b)\}_{n=1}^\infty\) é ortogonal em \([0,b]\), com produto interno definido por \(\langle g,h\rangle=\int_{0}^{b} g(y)h(y)\,dy\). A fórmula de ortogonalidade é \[\int_{0}^{b}\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right)\sin\!\left(\dfrac{m\pi y}{b}\right)dy= \begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \dfrac{b}{2},& n=m. \end{cases}
Explicando por que: ao integrar o produto de senos com frequências diferentes, obtém-se termos que se cancelam por simetria (ou usando identidades trigonométricas), e quando as frequências coincidem o integral dá um valor positivo \dfrac{b}{2}\]. Essa ortogonalidade permite isolar cada coeficiente da expansão de \(f.]

Passo 4

Formulação para os coeficientes da série (passo a passo):
Da igualdade
f(y)=\sum_{n=1}^{\infty} \Big(C_n\,\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi a}{b}\right)\Big)\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right)
multiplicamos ambos os lados por \sin\!\left(\dfrac{m\pi y}{b}\right) e integramos de 0 a b:
\int_{0}^{b} f(y)\sin\!\left(\dfrac{m\pi y}{b}\right)dy =\sum_{n=1}^{\infty} C_n\,\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi a}{b}\right) \int_{0}^{b}\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right)\sin\!\left(\dfrac{m\pi y}{b}\right)dy.
Pela ortogonalidade, só o termo n=m sobrevive no somatório; usando \int_{0}^{b}\sin^2\!\left(\dfrac{m\pi y}{b}\right)dy=\dfrac{b}{2} obtemos
\int_{0}^{b} f(y)\sin\!\left(\dfrac{m\pi y}{b}\right)dy = C_m\,\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{m\pi a}{b}\right)\cdot \dfrac{b}{2}.
Agora isolamos C_m:
C_m=\dfrac{2}{b\,\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{m\pi a}{b}\right)} \int_{0}^{b} f(y)\sin\!\left(\dfrac{m\pi y}{b}\right)dy.
Como m é um índice genérico, renomeando para n temos a fórmula pedida:
C_n=\dfrac{2}{b\,\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi a}{b}\right)} \int_{0}^{b} f(y)\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right)dy.
Comentário motivador: essa é a fórmula padrão para coeficientes de uma série de Fourier seno ajustada ao fator \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi a}{b}\right) que vem da solução em x.

Passo 5

Agora parte (b): dados f(y)=1 em 0\le y\le 2 e a=b=2. Vou calcular os coeficientes C_n usando a fórmula encontrada. Substituindo a=b=2 na fórmula,
C_n=\dfrac{2}{2\,\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi\cdot 2}{2}\right)} \int_{0}^{2} 1\cdot \sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{2}\right)dy.
Simplificando o fator fora da integral:
C_n=\dfrac{1}{\operatorname{sinh}\!\left(n\pi\right)} \int_{0}^{2}\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{2}\right)dy.

Passo 6

Calcular a integral explicitamente (etapas detalhadas):
Faça a substituição t=\dfrac{n\pi y}{2} então dy=\dfrac{2}{n\pi}\,dt. Quando y=0 tem t=0; quando y=2 tem t=n\pi. Assim
\int_{0}^{2}\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{2}\right)dy =\dfrac{2}{n\pi}\int_{0}^{n\pi}\sin t\,dt.
Avalia a primitiva:
\int_{0}^{n\pi}\sin t\,dt = [-\cos t]_{0}^{n\pi} = -\cos(n\pi)+\cos 0 = -(-1)^n +1 = 1-(-1)^n.
Portanto
\int_{0}^{2}\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{2}\right)dy=\dfrac{2}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big).
Note que \big(1-(-1)^n\big) é 0 quando n é par e 2 quando n é ímpar. Então a integral vale
\int_{0}^{2}\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{2}\right)dy= \begin{cases} 0,& n\text{ par},\\[4pt] \dfrac{4}{n\pi},& n\text{ ímpar}. \end{cases}í]

Passo 7

Substituindo na expressão de C_n obtemos
C_n=\dfrac{1}{\operatorname{sinh}(n\pi)}\cdot \begin{cases} 0,& n\text{ par},\\[4pt] \dfrac{4}{n\pi},& n\text{ ímpar}. \end{cases}í
Isto pode ser escrito compactamente como
C_n=\begin{cases} \dfrac{4}{n\pi\,\operatorname{sinh}(n\pi)}, & n\\ \text{ímpar},\\[6pt] 0, & n\\ \text{par}. \end{cases}í]

Passo 8

Finalmente montamos a solução u(x,y) para a=b=2 e f(y)=1. Usando a forma geral
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} C_n\,\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi x}{b}\right)\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right)
e lembrando que b=2, temos
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} C_n\,\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi x}{2}\right)\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{2}\right).
Como C_n é zero para n par, a soma reduz-se aos n ímpares; substituindo a expressão de C_n para ímpares:
u(x,y)=\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty} \dfrac{4}{n\pi\,\operatorname{sinh}(n\pi)}\, \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi x}{2}\right)\, \sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{2}\right).í
Essa é a forma final da solução no caso pedido. Pequeno lembrete prático: na prova, ao ver f(y) constante num intervalo e bases \sin(n\pi y/b), procure logo pela seleção de par/ímpar — geralmente muitos coeficientes se anulam por simetria.

Resposta

(a) C_n=\dfrac{2}{b\,\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi a}{b}\right)} \int_{0}^{b} f(y)\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right)dy.
(b) Para f(y)=1 em [0,2] e a=b=2:
C_n=\begin{cases} \dfrac{4}{n\pi\,\operatorname{sinh}(n\pi)}, & n\\ \text{ímpar},\\[6pt] 0, & n\\ \text{par}, \end{cases}í
e
u(x,y)=\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty} \dfrac{4}{n\pi\,\operatorname{sinh}(n\pi)}\, \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi x}{2}\right)\, \sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{2}\right).í]

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