Resolva as inequações seguintes, em mathbb{R}. \left|x^{2}-5 x+5\right|<1
Passo 1
O enunciado pede para resolver, no conjunto dos números reais, a inequação com valor absoluto
\left|x^{2}-5x+5\right|<1.
Informações dadas:
A variável é x\in\mathbb{R}.
A condição é que o valor absoluto de x^{2}-5x+5 seja estritamente menor que 1.
O que se pede: determinar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Transformar a desigualdade com valor absoluto em uma desigualdade composta. Lembre que, para qualquer expressão real A,
Explicar como tratar x^{2}-5x+4: é um polinômio quadrático. Primeiro encontramos suas raízes resolvendo a equação
x^{2}-5x+4=0.
Fatorando (ou usando a fórmula de Bhaskara), procuramos dois números cujo produto seja 4 e soma seja -5. Esses números são -1 e -4, portanto a fatoração é
x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4).
Passo 5
Analisar o sinal do produto (x-1)(x-4). Para um produto de dois fatores lineares com raízes 1 e 4 e coeficiente líder positivo (o coeficiente de x^{2} é +1), a parábola abre para cima. Logo o polinômio é negativo entre as raízes e positivo fora delas. Assim
x^{2}-5x+4<0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1<x<4.
Portanto a primeira condição impõe x\in(1,4).
Passo 6
Resolver a segunda desigualdade. Subtraindo -1 (ou somando 1) em ambos os lados:
Novamente tratamos o quadrático x^{2}-5x+6. Encontramos suas raízes pela fatoração: procurar dois números cujo produto seja 6 e soma seja -5. Esses números são -2 e -3, então
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Passo 7
Analisar o sinal de (x-2)(x-3). Com coeficiente líder +1, o polinômio é positivo fora do intervalo entre as raízes e negativo entre elas. Assim
Verificação rápida dos pontos limites (sanidade): como a desigualdade original é estrita \left|x^{2}-5x+5\right|<1, os pontos onde \left|x^{2}-5x+5\right|=1 não pertencem à solução. As raízes que dão igualdade correspondem a x=1,2,3,4 (esses são os pontos onde cada uma das quadráticas se anula), então devemos manter os intervalos abertos, conforme obtido.