Resolva as inequações seguintes, em mathbb{R}.
\left|x^{2}-5 x+5\right|<1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no conjunto dos números reais, a inequação com valor absoluto
\left|x^{2}-5x+5\right|<1.
Informações dadas:
  • A variável é x\in\mathbb{R}.
  • A condição é que o valor absoluto de x^{2}-5x+5 seja estritamente menor que 1.
    O que se pede: determinar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Transformar a desigualdade com valor absoluto em uma desigualdade composta. Lembre que, para qualquer expressão real A,
\left|A\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1<A<1.
Aqui A=x^{2}-5x+5. Aplicando a equivalência obtemos
-1 < x^{2}-5x+5 < 1.
Isto nos dá duas desigualdades simultâneas a serem satisfeitas.

Passo 3

Separar a desigualdade composta em duas desigualdades simples (ambas devem ser verdadeiras ao mesmo tempo):
  1. x^{2}-5x+5<1.
  2. x^{2}-5x+5>-1.
Agora vamos escrever cada uma na forma padrão de um polinômio comparado com zero, subtraindo os termos adequados.

Passo 4

Resolver a primeira desigualdade. Subtraindo 1 de ambos os lados temos
x^{2}-5x+5-1<0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-5x+4<0.
Explicar como tratar x^{2}-5x+4: é um polinômio quadrático. Primeiro encontramos suas raízes resolvendo a equação
x^{2}-5x+4=0.
Fatorando (ou usando a fórmula de Bhaskara), procuramos dois números cujo produto seja 4 e soma seja -5. Esses números são -1 e -4, portanto a fatoração é
x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4).

Passo 5

Analisar o sinal do produto (x-1)(x-4). Para um produto de dois fatores lineares com raízes 1 e 4 e coeficiente líder positivo (o coeficiente de x^{2} é +1), a parábola abre para cima. Logo o polinômio é negativo entre as raízes e positivo fora delas. Assim
x^{2}-5x+4<0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1<x<4.
Portanto a primeira condição impõe x\in(1,4).

Passo 6

Resolver a segunda desigualdade. Subtraindo -1 (ou somando 1) em ambos os lados:
x^{2}-5x+5+1>0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-5x+6>0.
Novamente tratamos o quadrático x^{2}-5x+6. Encontramos suas raízes pela fatoração: procurar dois números cujo produto seja 6 e soma seja -5. Esses números são -2 e -3, então
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

Passo 7

Analisar o sinal de (x-2)(x-3). Com coeficiente líder +1, o polinômio é positivo fora do intervalo entre as raízes e negativo entre elas. Assim
x^{2}-5x+6>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x<2\\ \text{ou}\\ x>3.
Em notação de intervalos: x\in(-\infty,2)\cup(3,\infty).

Passo 8

Fazer a interseção das duas condições (pois ambas devem ser verdadeiras ao mesmo tempo). Temos:
x\in(1,4)\quad\text{e}\quad x\in(-\infty,2)\cup(3,\infty).
Interseccionando os conjuntos:
(1,4)\cap\bigl((-\infty,2)\cup(3,\infty)\bigr) = (1,2)\cup(3,4).

Passo 9

Verificação rápida dos pontos limites (sanidade): como a desigualdade original é estrita \left|x^{2}-5x+5\right|<1, os pontos onde \left|x^{2}-5x+5\right|=1 não pertencem à solução. As raízes que dão igualdade correspondem a x=1,2,3,4 (esses são os pontos onde cada uma das quadráticas se anula), então devemos manter os intervalos abertos, conforme obtido.

Resposta

(1,2)\cup(3,4)

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