Considere o problema
onde
é uma constante e
e
são funções dadas. A solução é dada por
(a) Justifique as seguintes identidades para os coeficientes de Fourier:
(b) Use as afirmações acima para encontrar a solução
supondo que
e
e
.
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valores iniciais para a equação da onda
e diz que a solução pode ser escrita como a série de senos
O que nos pedem:
- (a) justificar as fórmulas
- (b) usar essas fórmulas para encontrar
quando , , e .
Passo 2
Vamos provar a propriedade de ortogonalidade das funções
, que é a pedra angular das fórmulas dos coeficientes.
Considere, para inteiros
,
Usamos a identidade produto-para-soma
Aplicando com
e
obtemos
Cada integral de cosseno é fácil de calcular: para
,
pois
. Assim, se
ambas as contribuições são zero e
.
Se
temos
Portanto a ortogonalidade fica explícita:
Passo 3
Justificamos agora a fórmula para
.
Tomamos a expressão dada para
e avaliamos em
. Como
e
,
Mas sabemos que
. Logo temos a igualdade de funções
Para isolar
multiplicamos ambos os lados por
e integramos de
a
:
Pela ortogonalidade (Passo 2) todos os termos da soma são zero exceto o de
, cujo integral vale
. Assim
e daí isolamos
Isto é exatamente a fórmula pedida para
.
Passo 4
Justificamos agora a fórmula para
.
Primeiro derivamos a série de
em relação a
. Como derivada de
é
e de
é
,
Avaliando em
(onde
e
) obtemos
Como
, segue
Multiplicando por
e integrando de
a
, usando novamente a ortogonalidade, obtemos
Isolando
resulta
que é exatamente a segunda fórmula pedida.
Passo 5
Agora aplicamos as fórmulas aos dados concretos da parte (b):
,
,
,
.
Calcule primeiro
:
Avaliaremos o colchete:
Substituindo em
:
Portanto
se
é par (pois
), e se
é ímpar (
) então
Agora
. Usando
,
Mas já calculámos
. Assim
Logo
para
par, e para
ímpar (
)
Em particular, com
e
obtemos, para
ímpar,
e para
par
.
Passo 6
Finalmente escrevemos a solução
usando apenas os termos ímpares (pois os pares dão coeficiente zero). Seja
com
. Substituindo
e
obtemos
Esta expressão é equivalente (apenas escrita com índice
) a somar sobre todos os
ímpares as ondas normais com os coeficientes calculados.
Resposta
Para
:
e