A solução para o problema do fluxo de calor
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}(x, t)=7 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}(x, t), 0<x<\pi, t>0 \\\ u(0, t)=u(\pi, t)=0, t>0 \\\ u(x, 0)=3 \sin (2 x)-6 \sin (5 x), 0<x<\pi . \end{array}\right.
é
u(x, t)=3 e^{-28 t} \sin (2 x)-6 e^{-175 t} \sin (5 x)
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial para a equação do calor com coeficiente de difusão igual a 7 e condições de contorno de Dirichlet homogêneas:
\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}(x, t)=7 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}(x, t),\;0<x<\pi,\;t>0,\\\ u(0, t)=u(\pi, t)=0,\;t>0,\\\ u(x, 0)=3 \sin(2x)-6 \sin(5x),\;0<x<\pi. \end{cases}
Conteúdo: equação do calor unidimensional, separação de variáveis e séries de Fourier para condições de contorno nulas.

Passo 2

Pela separação de variáveis, cada modo espacial é da forma \sin(kx) e decai no tempo como e^{-7k^{2}t}. Logo, a solução geral de valor inicial u(x,0)=\sum_{k=1}^{\infty}A_{k}\sin(kx) é
u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}A_{k}\,e^{-7k^{2}t}\sin(kx).

Passo 3

No nosso caso, a expansão inicial já está pronta: só aparecem os modos k=2 e k=5 com coeficientes A_{2}=3 e A_{5}=-6. Assim
u(x,t) =3\,e^{-7\cdot2^{2}t}\sin(2x) -6\,e^{-7\cdot5^{2}t}\sin(5x) =3\,e^{-28t}\sin(2x)-6\,e^{-175t}\sin(5x).

Passo 4

A fórmula obtida coincide exatamente com a solução apresentada no enunciado.

Resposta

Verdadeiro

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