A soluçao do problema de valor inicial
.
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede a solução do valor inicial da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
sujeita a
Para resolver, vamos obter primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
A equação característica da parte homogênea
tem raiz dupla
. Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
, notamos que o termo não homogêneo é
e
é raiz dupla. Então usamos o ansatz
onde
é polinomial de grau igual ao grau de
, isto é, grau 2. Entretanto, o operador diferencial satisfaz
Como temos o fator extra
, na prática surge
e igualamos a
. Assim, impomos
Passo 4
Integramos duas vezes
Os termos
e
correspondem às soluções da homogênea multiplicadas por
, então podemos absorvê-los em
. Ficamos com
logo
Passo 5
A solução geral é
Para aplicar as condições iniciais, escrevemos
Então
e, como
temos em
Passo 6
Substituindo
e
em
, obtemos
Resposta
c.