A soluçao do problema de valor inicial
(0)=17
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=t^{2} e^{3 t}, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=17.
a. 2 e^{3 t}-11 t e^{3 t}+\frac{1}{12} t^{4} e^{3 t}
b. 2 e^{3 t}-11 t e^{3 t}+\frac{1}{12} t^{2} e^{3 t}
c. 2 e^{3 t}+11 t e^{3 t}+\frac{1}{12} t^{4} e^{3 t}
d. 2 e^{3 t}-11 t e^{3 t}-\frac{1}{12} t^{2} e^{3 t}
e. 2 e^{3 t}+11 t e^{3 t}+\frac{1}{12} t^{2} e^{3 t}

Passo 1

O enunciado pede a solução do valor inicial da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
y'' - 6y' + 9y = t^2 e^{3t},
sujeita a
y(0)=2,\quad y'(0)=17.
Para resolver, vamos obter primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea
r^2 - 6r + 9 = 0
tem raiz dupla r=3. Logo, a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{3t} + C_2\,t\,e^{3t}.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p, notamos que o termo não homogêneo é t^2 e^{3t} e r=3 é raiz dupla. Então usamos o ansatz
y_p(t)=t^2\,p(t)\,e^{3t},
onde p(t) é polinomial de grau igual ao grau de t^2, isto é, grau 2. Entretanto, o operador diferencial satisfaz
\bigl(D^2 -6D +9\bigr)\bigl(e^{3t}p(t)\bigr) = e^{3t}\,p''(t).
Como temos o fator extra t^2, na prática surge
(D^2 -6D+9)\bigl(t^2p(t)e^{3t}\bigr) = e^{3t}\,p''(t),
e igualamos a t^2e^{3t}. Assim, impomos
p''(t)=t^2.

Passo 4

Integramos duas vezes
p''(t)=t^2 \;\Longrightarrow\; p'(t)=\frac{t^3}{3}+A,
p(t)=\frac{t^4}{12}+A\,t+B.
Os termos A\,t e B correspondem às soluções da homogênea multiplicadas por e^{3t}, então podemos absorvê-los em y_h. Ficamos com
p(t)=\frac{t^4}{12},
logo
y_p(t)=\frac{t^4}{12}\,e^{3t}.

Passo 5

A solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) = C_1 e^{3t} + C_2\,t\,e^{3t} + \frac{t^4}{12}\,e^{3t}.
Para aplicar as condições iniciais, escrevemos
y(t)=e^{3t}\Bigl(C_1 + C_2\,t + \tfrac{t^4}{12}\Bigr).
Então
y(0)=C_1=2,
e, como
y'(t)=\bigl(C_2 + \tfrac{t^3}{3} + 3(C_1 + C_2\,t + \tfrac{t^4}{12})\bigr)e^{3t},
temos em t=0 y'(0)=\bigl(C_2 + 3C_1\bigr)=17 \;\Longrightarrow\; C_2+3\cdot2=17 \;\Longrightarrow\; C_2=11.

Passo 6

Substituindo C_1=2 e C_2=11 em y(t), obtemos
y(t)=\Bigl(2 + 11\,t + \tfrac{t^4}{12}\Bigr)e^{3t} =2e^{3t} + 11\,t\,e^{3t} + \tfrac{1}{12}t^4e^{3t}.

Resposta

c. 2 e^{3t} + 11 t e^{3t} + \frac{1}{12} t^{4} e^{3t}

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