Uma solução saturada é preparada pela dissolução de Ag 2 SO 4 (g) em 400 mL de água. Calcule a massa ( g ) do sal que se dissolve. (Dados: \mathrm{Kps}=1,2 \times 10^{-5} , \mathrm{MM}=311,83 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} )

Passo 1

O enunciado pede: calcular a massa do sal dissolvido quando se prepara uma solução saturada de Ag _2SO _4 em 400\\ \mathrm{mL} de água, sabendo que \mathrm{K_{ps}}=1,2\times 10^{-5} e a massa molar é \mathrm{MM}=311{,}83\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que podemos usar):
\mathrm{K_{ps}}=1{,}2\times 10^{-5},
\mathrm{MM(Ag_2SO_4)}=311{,}83\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}},
\text{volume} = 400\\ \mathrm{mL} = 0{,}400\\ \mathrm{L}.
O que devemos entregar: a massa (em gramas) de Ag _2SO _4 que se dissolve numa solução saturada de volume 0{,}400\\ \mathrm{L}.

Passo 2

Escrever a reação de dissociação e relacionar as concentrações das espécies. Quando Ag _2SO _4 sólida se dissolve:
\mathrm{Ag_2SO_4(s)} \rightleftharpoons 2\,\mathrm{Ag^+} + \mathrm{SO_4^{2-}}.
Se chamarmos de s a solubilidade molar de \mathrm{Ag_2SO_4} (isto é, os mols de sal que se dissolvem por litro), então ao dissolver s mol·L ^{-1} teremos:
[\mathrm{SO_4^{2-}}]=s,\qquad [\mathrm{Ag^+}]=2s.
Explicação didática: s representa quantos mols do sal entram em solução por litro. Pela estequiometria da reação, cada 1 mol de Ag _2SO _4 fornece 2 mols de Ag ^+ e 1 mol de \mathrm{SO_4^{2-}}, daí os coeficientes.

Passo 3

Escrever a expressão do produto de solubilidade e montar a equação para s. A definição de \mathrm{K_{ps}} para este sal é:
\mathrm{K_{ps}}=[\mathrm{Ag^+}]^2[\mathrm{SO_4^{2-}}].
Substituindo as concentrações em função de s:
\mathrm{K_{ps}}=(2s)^2\cdot s = 4s^3.
Portanto a equação a resolver é
4s^3=\mathrm{K_{ps}}.
Isolando s,
s=\left(\frac{\mathrm{K_{ps}}}{4}\right)^{1/3}.
Breve explicação: dividimos por 4 e tiramos a raiz cúbica porque a incógnita está elevada ao cubo.

Passo 4

Calcular numericamente s. Substituindo \mathrm{K_{ps}}=1{,}2\times 10^{-5}:
s=\left(\frac{1{,}2\times 10^{-5}}{4}\right)^{1/3}=\left(3{,}0\times 10^{-6}\right)^{1/3}.
Para calcular a raiz cúbica de 3{,}0\times 10^{-6} de forma prática sem calculadora, separamos mantissa e potência de 10:
\left(3{,}0\times 10^{-6}\right)^{1/3}=(3{,}0)^{1/3}\times(10^{-6})^{1/3}=(3{,}0)^{1/3}\times 10^{-2}.
Sabemos (ou decoramos) que (3)^{1/3}\approx 1{,}442. Logo
s\approx 1{,}442\times 10^{-2} = 0{,}01442\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
Comentário amigo: esse truque de separar a potência de 10 facilita muito o cálculo manual — você só precisa conhecer algumas raízes cúbicas simples (por exemplo 2^{1/3}\approx1{,}26, 3^{1/3}\approx1{,}442).

Passo 5

Calcular o número de mols dissolvidos no volume dado. A concentração s é em mol·L ^{-1}. Para 0{,}400\\ \mathrm{L} temos:
\text{mols} = s \times V = 0{,}01442\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}\times 0{,}400\\ \mathrm{L} = 0{,}005768\\ \mathrm{mol}.
Mostrei a multiplicação com os dígitos para você ver como fazer na prova: 0{,}01442\times 0{,}400 = 0{,}01442\times 4\times 10^{-1} = 0{,}05768\times 10^{-1} = 0{,}005768.

Passo 6

Converter os mols em massa usando a massa molar. A massa é:
\text{massa} = \text{mols}\times \mathrm{MM} = 0{,}005768\\ \mathrm{mol}\times 311{,}83\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
311{,}83\times 0{,}005768 \approx 311{,}83\times 5{,}768\times 10^{-3}.
Calculando (ou usando multiplicação manual):
311{,}83\times 0{,}005768 \approx 1{,}797\\ \mathrm{g}.
Arredondamento: como \mathrm{K_{ps}} foi dado com dois algarismos significativos ( 1{,}2\times10^{-5}), é razoável apresentar a resposta com dois algarismos significativos: 1{,}8\\ \mathrm{g}. Se preferir mais resolução, podemos manter três algarismos: 1{,}80\\ \mathrm{g}. Vou apresentar a resposta com duas casas significativas relevantes.

Resposta

1{,}8\\ \mathrm{g}

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