A solução do seguinte sistema linear \{x+2 y+z=10 x-z=5 y-2 z=13 é:
a) S=\{(0,2,-5)\}
b) S=\{(1,4,1)\}
c) S=\{(4,0,6)\}
d) S=\left\{\left(\frac{3}{2}, 6,-\frac{7}{2}\right)\right\}
e) Sistema sem solução.

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O sistema de equações é (peguei as equações do enunciado):
\begin{cases} x+2y+z=10,\\[4pt] x-z=5,\\[4pt] y-2z=13. \end{cases}
  • O enunciado pergunta qual é a solução do sistema, dando opções:
    a) S=\{(0,2,-5)}
    b) S=\{(1,4,1)\}
    c) S=\{(4,0,6)\}
    d) S=\left\{\left(\dfrac{3}{2},6,-\dfrac{7}{2}\right)\right\}
    e) Sistema sem solução.
O objetivo é encontrar os valores de x, y e z que satisfaçam as três equações simultaneamente e comparar com as alternativas.]

Passo 2

Estratégia: usar substituição. Vou isolar uma variável em uma equação simples e substituir nas outras, porque as equações 2 e 3 já são fáceis de isolar. Substituição é outro jeito de dizer “resolver uma equação para uma variável e então substituir essa expressão nas outras para reduzir o número de incógnitas”.

Passo 3

Isolar x a partir da segunda equação. Da equação
x-z=5
isolamos x somando z em ambos os lados:
x=5+z.
Explicação rápida: ao somar z em ambos os membros, mantenho a igualdade e passo a ter x expresso em termos de z. Isso é útil porque permite eliminar x nas demais equações.

Passo 4

Isolar y a partir da terceira equação. Da equação
y-2z=13
somando 2z em ambos os lados obtemos:
y=13+2z.
Agora y também está expresso em termos de z. Com x e y em função de z, podemos usar a primeira equação para determinar z.

Passo 5

Substituir x e y na primeira equação. A primeira equação é
x+2y+z=10.
Substituindo x=5+z e y=13+2z nela:
(5+z)+2(13+2z)+z=10.
Agora vamos desenvolver passo a passo essa expressão.

Passo 6

Desenvolver a expressão e juntar termos semelhantes:
5+z + 2\cdot13 + 2\cdot(2z) + z = 10.
Calcule os produtos:
5+z + 26 + 4z + z = 10.
Some os termos em z e as constantes:
( z+4z+z ) + (5+26) = 10 \quad\Rightarrow\quad 6z + 31 = 10.

Passo 7

Resolver para z:
6z + 31 = 10 \quad\Rightarrow\quad 6z = 10-31 = -21.
Logo
z = \dfrac{-21}{6} = -\dfrac{7}{2}.
Expliquei converter para fração reduzida: dividir numerador e denominador por 3 dá -7/2.

Passo 8

Encontrar x usando x=5+z:
x = 5 + \left(-\dfrac{7}{2}\right) = \dfrac{10}{2} - \dfrac{7}{2} = \dfrac{3}{2}.

Passo 9

Encontrar y usando y=13+2z:
y = 13 + 2\left(-\dfrac{7}{2}\right) = 13 -7 = 6.

Passo 10

Verificação (sempre faça na prova!): substituir os valores \;x=\dfrac{3}{2},\;y=6,\;z=-\dfrac{7}{2}\; nas três equações para confirmar.
  • Primeira equação:
x+2y+z = \dfrac{3}{2} + 2\cdot 6 + \left(-\dfrac{7}{2}\right) = \dfrac{3}{2}-\dfrac{7}{2}+12 = -\dfrac{4}{2}+12 = -2+12=10.
Confere.
  • Segunda equação:
x-z = \dfrac{3}{2} - \left(-\dfrac{7}{2}\right) = \dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{2}=\dfrac{10}{2}=5.
Confere.
  • Terceira equação:
y-2z = 6 - 2\left(-\dfrac{7}{2}\right) = 6 +7 =13.
Confere.
Como todos os três verificam, os valores estão corretos.

Resposta

d) S=\left\{\left(\dfrac{3}{2},6,-\dfrac{7}{2}\right)\right\}

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