A solução do seguinte sistema linear \{x+2 y+z=10 x-z=5 y-2 z=13 é:
a) S=\{(0,2,-5)\}
b) S=\{(1,4,1)\}
c) S=\{(4,0,6)\}
d) S=\left\{\left(\frac{3}{2}, 6,-\frac{7}{2}\right)\right\}
e) Sistema sem solução.
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
O sistema de equações é (peguei as equações do enunciado):
O enunciado pergunta qual é a solução do sistema, dando opções:
a) S=\{(0,2,-5)}
b) S=\{(1,4,1)\}
c) S=\{(4,0,6)\}
d) S=\left\{\left(\dfrac{3}{2},6,-\dfrac{7}{2}\right)\right\}
e) Sistema sem solução.
O objetivo é encontrar os valores de x, y e z que satisfaçam as três equações simultaneamente e comparar com as alternativas.]
Passo 2
Estratégia: usar substituição. Vou isolar uma variável em uma equação simples e substituir nas outras, porque as equações 2 e 3 já são fáceis de isolar. Substituição é outro jeito de dizer “resolver uma equação para uma variável e então substituir essa expressão nas outras para reduzir o número de incógnitas”.
Passo 3
Isolar x a partir da segunda equação. Da equação
x-z=5
isolamos x somando z em ambos os lados:
x=5+z.
Explicação rápida: ao somar z em ambos os membros, mantenho a igualdade e passo a ter x expresso em termos de z. Isso é útil porque permite eliminar x nas demais equações.
Passo 4
Isolar y a partir da terceira equação. Da equação
y-2z=13
somando 2z em ambos os lados obtemos:
y=13+2z.
Agora y também está expresso em termos de z. Com x e y em função de z, podemos usar a primeira equação para determinar z.
Passo 5
Substituir x e y na primeira equação. A primeira equação é
x+2y+z=10.
Substituindo x=5+z e y=13+2z nela:
(5+z)+2(13+2z)+z=10.
Agora vamos desenvolver passo a passo essa expressão.
Passo 6
Desenvolver a expressão e juntar termos semelhantes: