Dê a solução do sistema lineares:
(a) \left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=-9 x+19 y+4 z, \\\ \frac{d y}{d t}=-3 x+7 y+z, \\\ \frac{d z}{d t}=-7 x+17 y+2 z\end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema homogêneo
\begin{cases} \dot x=-9x+19y+4z,\\\ \dot y=-3x+7y+z,\\\ \dot z=-7x+17y+2z. \end{cases}
O conteúdo é solução de sistema linear com coeficientes constantes. Vamos encontrar os autovalores de
A=\begin{pmatrix}-9&19&4\\\ -3&7&1\\\ -7&17&2\end{pmatrix}
e depois os autovetores para montar a solução geral.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
\det\!\begin{pmatrix}-9-\lambda&19&4\\\ -3&7-\lambda&1\\\ -7&17&2-\lambda\end{pmatrix} =-\lambda(\lambda^2+1)=0.
Logo os autovalores são
\lambda_1=0,\quad\lambda_{2,3}=\pm i.

Passo 3

Para \lambda_1=0\) resolvemos \(A v=0\). O sistema é \[\begin{cases} -9x+19y+4z=0,\\\\ -3x+7y+z=0,\\\\ -7x+17y+2z=0. \end{cases}
Da segunda equação z=3x-7y\]. Substituindo na primeira dá \(3x-9y=0\Rightarrow x=3y, então z=2y. Um autovetor é
v_1=(3,1,2).

Passo 4

Para \lambda=i resolvemos (A-iI)v=0. Escolhendo livremente b=10, obtemos
v=(a,b,c)=(31-3i,10,23+i).
Escrevemos v=p+iq com
p=(31,10,23),\quad q=(-3,0,1).

Passo 5

Da teoria, cada par complexo \pm i gera duas soluções reais
X_2(t)=p\cos t - q\sin t,\quad X_3(t)=p\sin t + q\cos t
e o autovalor zero gera a solução constante
X_1(t)=v_1=(3,1,2).

Passo 6

Assim a solução geral é
(x,y,z)(t) =C_1(3,1,2) +C_2\bigl(p\cos t - q\sin t\bigr) +C_3\bigl(p\sin t + q\cos t\bigr),
onde p=(31,10,23) e q=(-3,0,1).

Resposta

(x,y,z)(t) =C_1(3,1,2) +C_2\bigl(31\cos t+3\sin t,\;10\cos t,\;23\cos t-\sin t\bigr) +C_3\bigl(31\sin t-3\cos t,\;10\sin t,\;23\sin t+\cos t\bigr).

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