Encontre a forma reduzida e identifique as seguintes cônicas e quádricas:
(b). \quad y^{2}+2 z^{2}+2 \sqrt{3} y z=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica homogênea em y e z
y^2 + 2 z^2 + 2\sqrt{3}\,y z = 0
Queremos eliminar o termo misto e reduzir à forma canônica.

Passo 2

Reescrevendo a forma quadrática, notamos que
y^2 + 2\sqrt{3}\,y z + 3 z^2 - z^2 = (y + \sqrt{3}\,z)^2 - z^2,
portanto a equação original é equivalente a
(y + \sqrt{3}\,z)^2 - z^2 = 0.

Passo 3

Definimos novas variáveis lineares sem termo misto:
u = y + \sqrt{3}\,z, \quad v = z.
Substituindo, a equação fica
u^2 - v^2 = 0
e fatoriza-se em
(u - v)(u + v) = 0.
Voltando a (y,z), obtemos as retas
y + (\sqrt{3} - 1)\,z = 0 \quad\text{e}\quad y + (\sqrt{3} + 1)\,z = 0.

Resposta

A forma reduzida é
u^2 - v^2 = 0
com u = y + \sqrt{3}\,z e v = z. Trata-se de um par de retas reais que se interceptam na origem, dadas por
y + (\sqrt{3} - 1)\,z = 0 \quad\text{e}\quad y + (\sqrt{3} + 1)\,z = 0.

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