Questão 4 Verifique se as relações abaixo são produtos internos em M_{2 \times 2}. Justifique sua resposta em no máximo 3 linhas.
\langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(A B^{T}\right).

Passo 1

Precisamos mostrar que \langle A,B\rangle=\tr(AB^T) satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Observamos que é bilinear, simétrica pois
\tr(AB^T)=\tr((AB^T)^T)=\tr(BA^T)=\langle B,A\rangle
e positiva definida pois
\langle A,A\rangle=\tr(AA^T)=\sum_{i,j}a_{ij}^2\ge0
com igualdade só se A=0.

Resposta

Sim, é um produto interno em M_{2\times2}.

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