Dê a solução do sistema lineares:
(c) \left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=x+y, \\\ \frac{d y}{d t}=-x+3 y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs a coeficientes constantes
\begin{cases} \frac{dx}{dt}=x+y,\\\ \frac{dy}{dt}=-x+3y. \end{cases}
O conteúdo envolve matrizes, autovalores e autovetores, e também o caso de valor próprio repetido (deficiente).

Passo 2

Escrevemos em forma matricial \dot{\mathbf{X}}=A\mathbf{X}, com \mathbf{X}=(x,y)^T e
A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
Para encontrar os autovalores \lambda, calculamos o polinômio característico:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1\\\\ -1 & 3-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)(3-\lambda)-(-1)\cdot1.

Passo 3

Expandindo,
(1-\lambda)(3-\lambda)+1 =3-4\lambda+\lambda^2+1 =\lambda^2-4\lambda+4 =(\lambda-2)^2.
Logo o único autovalor é \lambda=2 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Procuramos autovetores resolvendo (A-2I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad -v_1+v_2=0\;\Rightarrow\;v_2=v_1.
Um autovetor é, por exemplo, v^{(1)}=(1,1)^T.

Passo 5

Como só há uma direção própria, precisamos de um vetor generalizado v^{(2)} que satisfaça
(A-2I)\,v^{(2)}=v^{(1)}.
Isto é,
\begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad -v+u=1\;\Rightarrow\;v=u+1.
Escolhendo u=0, tomamos v^{(2)}=(0,1)^T.

Passo 6

Para valor próprio repetido e deficiente, a solução geral é
\mathbf{X}(t) =C_1\,e^{2t}\,v^{(1)} +C_2\,e^{2t}\bigl(t\,v^{(1)}+v^{(2)}\bigr).
Substituindo v^{(1)}=(1,1)^T e v^{(2)}=(0,1)^T, obtemos
\mathbf{X}(t) =e^{2t}\Bigl[ C_1\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} +C_2\Bigl(t\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}\Bigr) \Bigr].
Portanto as componentes são
x(t)=e^{2t}\bigl(C_1 + C_2\,t\bigr), \qquad y(t)=e^{2t}\bigl(C_1 + C_2\,t + C_2\bigr).

Resposta

x(t)=e^{2t}\bigl(C_1 + C_2\,t\bigr),
y(t)=e^{2t}\bigl(C_1 + C_2\,t + C_2\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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