Solucionar os seguintes problemas usando o métede SIMPLEX. Apresentar todos os passos ate chegar na soluçãótima (se for o caso).
Maximizar a funcãôa F=3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3} sujeita a:
\begin{aligned} x_{1}-x_{2}+x_{3} & \leq 4 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+4 x_{3} & \leq 7 \\\ x_{i} & \geq 0, i=1,2,3 \end{aligned}

Passo 1

O problema é um Programa Linear de maximização dado por
\begin{aligned} \text{Maximizar}\quad &F = 3x_{1} + 2x_{2} + x_{3},\\\ \text{sujeito a}\quad &x_{1} - x_{2} + x_{3} \le 4,\\\ &2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} \le 7,\\\ &x_{1},x_{2},x_{3}\ge0. \end{aligned}
O conteúdo é o método Simplex. Vamos converter para forma padrão com variáveis de folga e montar o tableau inicial.

Passo 2

Inserimos duas variáveis de folga x_{4},x_{5} para transformar as desigualdades em igualdades:
\begin{cases} x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=4,\\\\ 2x_{1}+x_{2}+4x_{3}+x_{5}=7,\\\ x_{i}\ge0,\;i=1,\dots,5. \end{cases}
A função objetivo na forma de igualdade é
Z - 3x_{1} -2x_{2} - x_{3} = 0.

Passo 3

Montamos o tableau inicial com base nas restrições e na linha de Z:
\begin{array}{c|ccccc|c} \text{BV} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} & \text{RHS}\\\ \hline x_{4} & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 4\\\ x_{5} & 2 & 1 & 4 & 0 & 1 & 7\\\ \hline Z & -3 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0 \end{array}

Passo 4

Identificamos a coluna de entrada como aquela com coeficiente mais negativo na linha de Z: aqui é x_{1} (coeficiente -3). Fazemos o teste de razão:
  • Linha x_{4}: 4/1 = 4.
  • Linha x_{5}: 7/2 = 3{,}5.
A menor razão é 3{,}5, então sai x_{5} e entra x_{1}. O pivô é o elemento 2 na interseção de x_{5} com x_{1}.

Passo 5

Dividimos a linha de pivô por 2 e eliminamos x_{1} das outras linhas. O tableau fica:
\begin{array}{c|ccccc|c} \text{BV} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} & \text{RHS}\\\ \hline x_{4} & 0 & -\tfrac32 & -1 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\ x_{1} & 1 & \tfrac12 & 2 & 0 & \tfrac12 & \tfrac72\\\ \hline Z & 0 & -\tfrac12 & 5 & 0 & \tfrac32 & \tfrac{21}2 \end{array}

Passo 6

Novamente escolhemos coluna de entrada pelo coeficiente mais negativo em Z: aqui é x_{2} (coeficiente -\tfrac12). Teste de razão:
  • Linha x_{4}: coeficiente de x_{2} é -\tfrac32 (não serve, pois não é positivo).
  • Linha x_{1}: coeficiente de x_{2} é \tfrac12, razão (7/2)/(\tfrac12)=7.
Portanto sai x_{1} e entra x_{2}. O elemento pivô é \tfrac12.

Passo 7

Dividimos a linha de pivô por \tfrac12 (multiplicando por 2) e eliminamos x_{2} das outras linhas. Obtemos:
\begin{array}{c|ccccc|c} \text{BV} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} & \text{RHS}\\\ \hline x_{2} & 2 & 1 & 4 & 0 & 1 & 7\\\ x_{4} & 3 & 0 & 5 & 1 & 1 & 11\\\ \hline Z & -1 & 0 & -7 & 0 & -2 & 14 \end{array}
Reescrevendo a linha de Z temos
Z = 14 - x_{1} - 7x_{3} - 2x_{5}.
Como todos os coeficientes de x_{1},x_{3},x_{5} são negativos nessa forma, não há mais variável que entre para aumentar Z. Logo, atingimos a solução ótima.

Resposta

\,x_{1} = 0 \,x_{2} = 7 \,x_{3} = 0 \;F_{\max} = 14

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