Maximizar a funcão F=3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3} sujeita a:
\begin{aligned} x_{1}-x_{2}+x_{3} & \leq 4 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+4 x_{3} & \leq 7 \\\ x_{i} & \geq 0, i=1,2,3 \end{aligned}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos maximizar
F = 3x_{1} + 2x_{2} + x_{3}
sujeito às restrições
\begin{aligned} x_{1} - x_{2} + x_{3} &\le 4,\\\\ 2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} &\le 7,\\\ x_{i} &\ge 0,\quad i=1,2,3. \end{aligned}
O conteúdo é Programação Linear em variáveis reais não negativas e vamos usar o fato de que o valor ótimo ocorre num vértice da região factível.

Passo 2

Num problema de Programação Linear com variáveis não negativas, os vértices extremos da região factível são obtidos pela interseção de planos das restrições e dos planos x_{i}=0. Como temos três variáveis e duas desigualdades lineares, os candidatos a vértice são os pontos em que duas variáveis se anulam (intersecção com eixos) e também a origem.

Passo 3

Determinação dos vértices extremos:
Quando x_{2}=x_{3}=0, ficam
x_{1}\le4, \quad 2x_{1}\le7
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x_{1} = \min\!\bigl(4,\tfrac{7}{2}\bigr) = \tfrac{7}{2}.
Ponto: \bigl(\tfrac{7}{2},0,0\bigr).
Quando x_{1}=x_{3}=0, as restrições dão
-x_{2}\le4\implies x_{2}\ge-4, \quad x_{2}\le7,
e junto com x_{2}\ge0 resulta
x_{2}=7.
Ponto: (0,7,0).
Quando x_{1}=x_{2}=0, as restrições viram
x_{3}\le4, \quad 4x_{3}\le7\implies x_{3}\le\tfrac{7}{4},
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x_{3} = \min\!\bigl(4,\tfrac{7}{4}\bigr) = \tfrac{7}{4}.
Ponto: \bigl(0,0,\tfrac{7}{4}\bigr).
Além disso, a origem (0,0,0) é também um vértice.

Passo 4

Avaliação de F em cada vértice:
  • Em \bigl(\tfrac{7}{2},0,0\bigr):
F = 3\cdot\tfrac{7}{2} + 2\cdot0 + 0 = \tfrac{21}{2} = 10{,}5.
  • Em (0,7,0):
F = 3\cdot0 + 2\cdot7 + 0 = 14.
  • Em \bigl(0,0,\tfrac{7}{4}\bigr):
F = 3\cdot0 + 2\cdot0 + \tfrac{7}{4} = \tfrac{7}{4} = 1{,}75.
  • Em (0,0,0):
F = 0.

Passo 5

Comparando os valores, o maior é 14, obtido em (0,7,0).

Resposta

O valor máximo é F_{\max}=14, atingido em
(x_{1},x_{2},x_{3}) = (0,7,0).

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