Solucionar os seguintes problemas usando o métode SIMPLEX. Apresentar todos os passos até chegar na solução ótima (se for o caso).
Maximizar a fungs ã o F=4 x_{1}+x_{2} sujeita a:
\begin{aligned} 2 x_{1}+3 x_{2} & \leq 7 \\\\ 2 x_{1}+x_{2} & \leq 8 \\\ x_{1}, x_{2} & \geq 0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para maximizar
F = 4x_{1} + x_{2}
sujeito a
\begin{aligned} 2x_{1} + 3x_{2} &\le 7,\\\\ 2x_{1} + x_{2} &\le 8,\\\ x_{1},x_{2} &\ge 0. \end{aligned}
Isso é um problema de Programação Linear e vamos usar o método Simplex. Precisamos transformar as desigualdades em igualdades com variáveis de folga, montar o tableau inicial, identificar a variável que entra na base, fazer o pivot e continuar até que nenhuma coluna tenha C_j - Z_j>0.

Passo 2

Introduzimos as variáveis de folga x_{3}\) e \(x_{4}\) para converter em igualdades: \[\begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=7,\\\\ 2x_{1}+x_{2}+x_{4}=8,\\\ x_{i}\ge0\;(i=1,\dots,4). \end{cases}
O tableau inicial é (onde “VB” indica variável básica e (C_j] são os coeficientes da função-objetivo):
\begin{array}{c|cccc|c} \text{VB}&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&\mathrm{RHS}\\hline x_{3}&2&3&1&0&7\\\ x_{4}&2&1&0&1&8\\hline Z_j&0&0&0&0&0\\\ C_j - Z_j&4&1&0&0& \end{array}

Passo 3

Calculamos C_j - Z_j. Como há valores positivos 4 em x_{1} e 1 em x_{2}, ainda não é solução ótima. Escolhemos a coluna de maior valor em C_j - Z_j, ou seja x_{1} entra na base. Fazemos o teste de razão mínima:
\frac{7}{2}=3{,}5,\quad \frac{8}{2}=4,
logo o pivô é o elemento 2 da primeira linha (variável x_{3} sai).

Passo 4

Fazemos o pivot na entrada (linha x_{3}, coluna x_{1}). Após normalizar e eliminar, o tableau fica:
\begin{array}{c|cccc|c} \text{VB}&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&\mathrm{RHS}\\hline x_{1}&1&1{,}5&0{,}5&0&3{,}5\\\ x_{4}&0&-2&-1&1&1\\hline Z_j&4&6&2&0&14\\\ C_j - Z_j&0&-5&-2&0& \end{array}
Agora todos os C_j - Z_j são \le0, ou seja não há mais coeficiente positivo.

Resposta

A solução ótima é
x_{1}=3{,}5,\quad x_{2}=0,
com valor máximo
F_{\max}=14.

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