Solucione os problemas de otimização usando o método gráfico.
Minimizar a função-objetivo Z
\operatorname{Min} Z=8 x_{1}+10 x_{2}
sujeito `a :
\begin{aligned} -x_{1}+x_{2} & \leq 2 \\\\ 4 x_{1}+5 x_{2} & \geq 20 \\\ x_{1} & \leq 6 \\\ x_{2} & \geq 4 \\\ x_{1}, x_{2} & \geq 0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de programação linear: minimizar
\operatorname{Min}\;Z = 8x_{1} + 10x_{2}
sujeito a
-x_{1} + x_{2} \le 2,\quad 4x_{1} + 5x_{2} \ge 20,\quad x_{1} \le 6,\quad x_{2} \ge 4,\quad x_{1},x_{2}\ge0.
Vamos usar o método gráfico: traçar as fronteiras definidas pelas igualdades correspondentes e identificar a região factível cujos vértices são candidatos ao ótimo.

Passo 2

Reescrevemos cada desigualdade como igualdade para desenhar as retas de fronteira:
x_{2} = x_{1} + 2,\quad x_{2} = 4 - 0,8\,x_{1},\quad x_{1} = 6,\quad x_{2} = 4,
além dos eixos x_{1}=0 e x_{2}=0. Observe que 4x_{1}+5x_{2}\ge20 é redundante, pois x_{2}\ge4 implica 5x_{2}\ge20 e com x_{1}\ge0 essa desigualdade já está garantida. Logo a região factível fica limitada por
x_{2}\ge4,\quad x_{2}\le x_{1}+2,\quad 0\le x_{1}\le6.

Passo 3

Determinamos os vértices da região factível resolvendo pares de igualdades:
Primeiro, intersecte x_{2}=x_{1}+2 com x_{2}=4. Igualando x_{1}+2=4 x_{1}=2, ponto (2,4).
Segundo, intersecte x_{1}=6 com x_{2}=4, obtendo o ponto (6,4).
Terceiro, intersecte x_{1}=6 com x_{2}=x_{1}+2, que fornece x_{2}=8 e o ponto (6,8).
Não há outros vértices no primeiro quadrante; a região factível é o triângulo com vértices em (2,4), (6,4) e (6,8).

Passo 4

Calculamos o valor de Z em cada vértice:
Z(2,4) = 8\cdot2 \;+\;10\cdot4 \;=\;56,
Z(6,4) = 8\cdot6 \;+\;10\cdot4 \;=\;88,
Z(6,8) = 8\cdot6 \;+\;10\cdot8 \;=\;128.

Passo 5

O menor valor de Z é 56, atingido no vértice (2,4).

Resposta

(x_{1},x_{2}) = (2,4) e Z_{\min} = 56.

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