Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
\left\{\begin{array}{l}3 x-4 y=1 \\\ x+3 y=9\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 3x - 4y = 1,\\\ x + 3y = 9 \end{cases}
usando a regra de Cramer. Vamos aplicar a fórmula que diz
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},
onde D é o determinante da matriz dos coeficientes, D_x e D_y são os determinantes formados substituindo, respectivamente, a coluna de x e a coluna de y pelos termos constantes.

Passo 2

Calcular o determinante D da matriz dos coeficientes:
D = \begin{vmatrix} 3 & -4\\\\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3\cdot3 - (-4)\cdot1 = 9 + 4 = 13.

Passo 3

Calcular o determinante D_x trocando a coluna de x pelos termos constantes:
D_x = \begin{vmatrix} 1 & -4\\\\ 9 & 3 \end{vmatrix} = 1\cdot3 - (-4)\cdot9 = 3 + 36 = 39.

Passo 4

Calcular o determinante D_y trocando a coluna de y pelos termos constantes:
D_y = \begin{vmatrix} 3 & 1\\\\ 1 & 9 \end{vmatrix} = 3\cdot9 - 1\cdot1 = 27 - 1 = 26.

Passo 5

Aplicar a regra de Cramer para obter x e y:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{39}{13} = 3, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{26}{13} = 2.

Resposta

x = 3,\; y = 2.

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