Se
e
então:
(a) Calcule
e defina
(b)
é um campo vetorial conservativo?
(c) Mostre que
, dada por
descreve uma curva que une os pontos
e
.
(d) Calcule
, sendo
a curva parametrizada por
.
(a) Calcule
(b)
(c) Mostre que
(d) Calcule
Passo 1
O enunciado define
e os pontos
,
. Precisamos:
– calcular o gradiente de e definir
,
– verificar se é conservativo,
– mostrar que a curva ,
, une
a
,
– e calcular ao longo dessa curva.
– calcular o gradiente de
– verificar se
– mostrar que a curva
– e calcular
Passo 2
Para obter o gradiente usamos derivadas parciais:
Logo,
e definimos então
Passo 3
Um campo vetorial
é conservativo se existe um potencial escalar
tal que
. Como acabamos de escrever
, concluímos imediatamente que
é conservativo em qualquer domínio simplesmente conexo.
Passo 4
A curva parametrizada é
Em
obtemos
,
e em
.
Logo, realmente une
a
.
e em
Logo,
Passo 5
Para campos conservativos vale o teorema fundamental das integrais de linha:
Calculamos
Portanto
Resposta
(a)
, logo
.
(b) Sim, é conservativo pois é gradiente de
.
(c) e
, logo a curva une
a
.
(d) .
(b) Sim,
(c)
(d)