Se f(x, y, z)=x y+y z^{2}, A=(-1,1,-1) e B=(2,4,8) então:
(a) Calcule \nabla f e defina \mathbf{F}=\nabla f
(b) \mathbf{F} é um campo vetorial conservativo?
(c) Mostre que \mathbf{r}:[-1,2] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, dada por \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}+t^{3} \mathbf{k} descreve uma curva que une os pontos A e B.
(d) Calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, sendo C a curva parametrizada por \mathbf{r}.

Passo 1

O enunciado define f(x,y,z)=x\,y + y\,z^2 e os pontos A=(-1,1,-1), B=(2,4,8). Precisamos:
– calcular o gradiente de f e definir \mathbf{F}=\nabla f,
– verificar se \mathbf{F} é conservativo,
– mostrar que a curva \mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+t^2\,\mathbf{j}+t^3\,\mathbf{k}, t\in[-1,2], une A a B,
– e calcular \displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo dessa curva.

Passo 2

Para obter o gradiente usamos derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=y,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x+z^2,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=2\,y\,z.
Logo,
\nabla f(x,y,z) = \bigl(y,\;x+z^2,\;2yz\bigr),
e definimos então
\mathbf{F}(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)=(y,\;x+z^2,\;2yz).

Passo 3

Um campo vetorial \mathbf{F} é conservativo se existe um potencial escalar f tal que \mathbf{F}=\nabla f. Como acabamos de escrever \mathbf{F}=\nabla f, concluímos imediatamente que \mathbf{F} é conservativo em qualquer domínio simplesmente conexo.

Passo 4

A curva parametrizada é
\mathbf{r}(t)=(t,\;t^2,\;t^3),\quad t\in[-1,2].
Em t=-1 obtemos
\mathbf{r}(-1)=(-1,\,1,\,-1)=A,
e em t=2
\mathbf{r}(2)=(2,\,4,\,8)=B.
Logo, \mathbf{r}(t) realmente une A a B.

Passo 5

Para campos conservativos vale o teorema fundamental das integrais de linha:
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f\bigl(\mathbf{r}(2)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(-1)\bigr) = f(B)-f(A).
Calculamos
f(B)=f(2,4,8)=2\cdot4 + 4\cdot8^2=8 + 256=264,
f(A)=f(-1,1,-1)=(-1)\cdot1 + 1\cdot(-1)^2=-1+1=0.
Portanto
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=264 - 0 = 264.

Resposta

(a) \nabla f=(y,\;x+z^2,\;2yz), logo \mathbf{F}(x,y,z)=(y,\;x+z^2,\;2yz).
(b) Sim, \mathbf{F} é conservativo pois é gradiente de f.
(c) \mathbf{r}(-1)=A e \mathbf{r}(2)=B, logo a curva une A a B.
(d) \displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=264.

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