Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Isso é uma equação de primeira ordem; tentaremos escrever na forma
e verificar se fica separável.
Passo 2
Isolando
, temos
Logo
Passo 3
Escrevemos em forma separável, levando os termos em
para um lado e em
para o outro:
Observamos que
Logo a integral fica
Passo 4
Calculamos separadamente cada lado:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Passo 5
Igualando as duas primitivas e somando uma constante
, obtemos
Rearranjando,
Opcionalmente, escrevemos o logaritmo combinado:
Resposta
A solução implícita geral é
ou equivalentemente