Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
(x^2 y+x y-y) d x+(x^2 y-2 x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(x^2y + x,y - yr),dx + l(x^2y - 2x^2r),dy = 0
Isso é uma equação de primeira ordem; tentaremos escrever na forma dy/dx = cdots e verificar se fica separável.

Passo 2

Isolando dy/dx, temos
dydx = -,x^2y + x,y - yx^2y - 2x^2 = -,y,(x^2 + x -1)x^2,(y-2)
Logo
dydx = -yy-2,x^2+x-1x^2

Passo 3

Escrevemos em forma separável, levando os termos em y para um lado e em x para o outro:
y-2y,dy = -,x^2+x-1x^2,dx
Observamos que
y-2y = 1 - 2y, x^2+x-1x^2 = 1 + 1x - 1x^2
Logo a integral fica
integrall(1 - 2yr),dy ;=; integral -l(1 + 1x - 1x^2r),dx

Passo 4

Calculamos separadamente cada lado:
Lado esquerdo:
integrall(1 - 2yr),dy = integral 1,dy ;-;2integral 1y,dy = y - 2,lnlvert yrvert
Lado direito:
integral -l(1 + 1x - 1x^2r),dx = -integral 1,dx ;-;integral 1x,dx ;+;integral 1x^2,dx = -x - lnlvert xrvert - 1x

Passo 5

Igualando as duas primitivas e somando uma constante C, obtemos
y - 2lnlvert yrvert = -x - lnlvert xrvert - 1x + C
Rearranjando,
y + x + 1x ;+;lnlvert xrvert ;-;2lnlvert yrvert = C
Opcionalmente, escrevemos o logaritmo combinado:
y + x + 1x + ln!l(lvert xrvertlvert yrvert^2r) = C

Resposta

A solução implícita geral é
y + x + 1x + lnlvert xrvert - 2lnlvert yrvert = C,
ou equivalentemente
y + x + 1x + ln!l(xy^2r) = C

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