9^a Questão: Determine a antiderivada abaixo. Verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
integral(2 t-t^2) d t

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função f(t)=2t - t^2. Aqui vamos usar as regras de linearidade da integral e a regra do poder (power rule) para integrar monômios.

Passo 2

Aplicamos a linearidade da integral, separando os termos:
integrall(2t - t^2r),dt = integral 2t,dt ;-;integral t^2,dt

Passo 3

Usamos a regra do poder, que diz integral t^n,dt = tfract^n+1n+1+C:
integral 2t,dt = 2integral t,dt = 2cdott^22 = t^2,
integral t^2,dt = t^33
Logo uma antiderivada é
F(t)=t^2 - t^33 + C

Passo 4

Para verificar, calculamos a derivada de F:
F'(t) = ddt!l(t^2r) - ddt!l(tfract^33r) + ddt(C) = 2t - t^2 + 0 = 2t - t^2,
que coincide com o integrando.

Resposta

F(t)=t^2-t^33+C,
com F'(t)=2t-t^2.

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