Em cada um dos itens a seguir, defina uma função f: D subset R R, y=f(x), com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
y=2^x

Passo 1

O enunciado pede que a gente defina a função
fcolon DsubsetRtoR, f(x)=2^x,
e então:
– Esboçar o gráfico de y=2^x.
– Dizer se o domínio é limitado ou ilimitado.
– Encontrar a imagem (o conjunto de valores que f assume).
– Verificar se a função é limitada ou ilimitada.
– Determinar se f é par, ímpar ou nenhuma das duas.

Passo 2

Domínio: a função exponencial 2^x está bem definida para todo xinR.
Logo
D = R,
que é ilimitado (vai de -infty a +infty).

Passo 3

Esboço do gráfico de y=2^x:
– Passa por (0,1), pois 2^0=1.
– Tem assíntota horizontal em y=0 quando xto-infty.
– Cresce de forma acelerada quando xto+infty.
– É estritamente crescente e suave em toda a reta.

Passo 4

Imagem:
– Quando xto-infty, 2^xto0^+.
– Quando xto+infty, 2^xto+infty.
Portanto
Im(f) = (0,infty)

Passo 5

Limitada ou ilimitada?
– Como f(x) atinge arbitrariamente grandes valores para xto+infty, ela não é limitada superiormente.
– Como f(x)>0 para todo x, ela é limitada inferiormente (por 0), mas isso não basta para ser limitada no sentido usual (precisa ter teto e piso).
Logo f é ilimitada.

Passo 6

Paridade:
f(-x) = 2^-x = 12^xneq 2^x = f(x) e f(-x)neq -f(x)
Portanto f não é par nem ímpar.

Resposta

Função: f(x)=2^x
Domínio: R (ilimitado)
Imagem: (0,infty)
Limitada? não (ilimitada)
Paridade: nem par nem ímpar

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