Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
d yd x=x^3-2 yx

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx=x^3-2yx.
Isso é uma equação de primeira ordem e linear em y. Para resolver, vamos escrevê-la na forma padrão
dydx+p(x),y=q(x)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x, obtemos a forma padrão:
dydx+2x,y = x^2

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=exp!l(integral 2x,dxr) =expl(2ln|x|r) =x^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x^2, vem
x^2dydx+2x,y = x^4
O lado esquerdo é exatamente
ddxl(x^2yr) =x^2dydx+2x,y

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
x^2y = integral x^4,dx = x^55 + C
Isolando y, obtemos
y = x^35 + C,x^-2

Resposta

A solução geral é
y(x)=x^35+Cx^2

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