Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
d yd x=3-6 x+y-2 x y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx=3-6x+y-2xy
e pede a solução geral (e, se houver condição inicial, também a solução particular).
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem, que resolvemos encontrando o fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão
dydx + P(x),y = Q(x)
Partindo de dydx=3-6x+y-2xy, isolamos dydx e agrupamos y:
dydx - y + 2x,y = 3-6x Longrightarrow dydx + (2x-1),y = 3-6x
Logo P(x)=2x-1 e Q(x)=3-6x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=exp!gl(integral P(x),dxgr) =exp!l(integral (2x-1),dxr) =exp!l(x^2 - xr)

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x). O lado esquerdo fica a derivada do produto mu(x),y:
mu(x),dydx + mu(x),(2x-1),y =ddxl(y,e^x^2 - xr)
Então a equação torna-se
ddxl(y,e^x^2 - xr) =(3-6x),e^x^2 - x

Passo 5

Integramos ambos os lados em x. No lado direito usamos a substituição u=x^2-x, pois du=(2x-1),dx e
3-6x = -3,(2x-1)
Logo
integral (3-6x),e^x^2 - x,dx =integral -3,e^u,du =-3,e^u + C =-3,e^x^2 - x + C
Portanto
y,e^x^2 - x =-3,e^x^2 - x + C

Passo 6

Isolando y, temos
y(x) =-3 + C,e^-(x^2 - x) =-3 + C,e^,x - x^2,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x)=-3 + C,e^,x - x^2
Se houver uma condição inicial y(x0)=y0, então
C=(y0+3),e^,x0^2 - x0

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