Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral (e, se houver condição inicial, também a solução particular).
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem, que resolvemos encontrando o fator integrante.
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem, que resolvemos encontrando o fator integrante.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma padrão
Partindo de
, isolamos
e agrupamos
:
Logo
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. O lado esquerdo fica a derivada do produto
:
Então a equação torna-se
Passo 5
Integramos ambos os lados em
. No lado direito usamos a substituição
, pois
e
Logo
Portanto
Passo 6
Isolando
, temos
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
Se houver uma condição inicial
, então