Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
d yd x=1+cos x2-sin y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = 1 + cos x2 - sin y
Isso é uma equação de variáveis separáveis; vamos separar x e y e depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por 2 - sin y e por dx:
(2 - sin y),dy = (1 + cos x),dx

Passo 3

Integre o lado esquerdo em relação a y:
integral (2 - sin y),dy = integral 2,dy - integral sin y,dy = 2y + cos y

Passo 4

Integre o lado direito em relação a x:
integral (1 + cos x),dx = integral 1,dx + integral cos x,dx = x + sin x

Passo 5

Iguale as duas primitivas e inclua a constante de integração C:
2y + cos y = x + sin x + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
2y + cos y = x + sin x + C
Como não houve condição inicial, esta é a forma final.

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