Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
x d yd x+x y=1-y, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
xdydx + x,y = 1 - y
com a condição inicial y(1)=0.
O conteúdo aqui é equação de primeira ordem e linear em y(x). Vamos precisar reescrever no formato padrão
dydx + P(x),y = Q(x)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo tudo por x (pressupondo xneq0), obtemos
dydx + l(1 + 1xr)y = 1x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integrall(1 + tfrac1xr),dxr) = expl(x + ln xr) = x,e^x

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x) resulta em
x e^x dydx + e^x(x+1)y = e^x,
que equivale a
ddxl(x e^x yr) = e^x
Integrando ambos os lados:
x e^x y = integral e^x,dx = e^x + C

Passo 5

Isolando y, achamos a solução geral:
y(x) = e^x + Cx e^x = 1x + C,e^-xx

Passo 6

Usando y(1)=0:
0 = 11 + C,e^-11 ;Longrightarrow; 1 + C e^-1 = 0 ;Longrightarrow; C = -e
Logo a solução particular é
y(x) = 1x - e,e^-xx = 1 - e^1-xx

Resposta

y(x) = 1 - e^1-xx

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