Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
x d yd x+2 y=sin xx, y(2)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
xdydx + 2y = sin xx
com condição inicial y(2)=1. Trata-se de uma equação linear de primeira ordem em y. Vamos reescrever na forma padrão
dydx + P(x),y = Q(x)
e usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividindo por x (supondo xneq0) obtemos
dydx + 2x,y = sin xx^2
Aqui P(x)=2/x. O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral 2x,dxr) = e^2ln|x| = x^2

Passo 3

Multiplicando a equação por x^2 vem
x^2dydx + 2x,y = sin x,
e o lado esquerdo é exatamente
ddxl(x^2yr) = x^2y' + 2x,y
Logo
ddxl(x^2yr) = sin x
Integrando em x:
x^2y = integral sin x,dx = -cos x + C

Passo 4

Isolando y e aplicando a condição y(2)=1:
y = -cos x + Cx^2, 1 = y(2) = -cos 2 + C4 ;Longrightarrow; C = 4 + cos 2

Resposta

y(x) = -cos x + 4 + cos 2x^2

Exercícios relacionados