Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
d yd x=4 x^3+1y(2+3 y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
d yd x=4 x^3+1y,(2+3y)
Este é um problema de EDO separável: podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro e então integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por y(2+3y),dx:
y(2+3y),dydx=4x^3+1 Longrightarrow y(2+3y),dy=(4x^3+1),dx

Passo 3

Expandimos e integramos cada lado:
integral y(2+3y),dy=integral(4x^3+1),dx
No lado esquerdo y(2+3y)=2y+3y^2, então
integral(2y+3y^2),dy =integral2y,dy+integral3y^2,dy =y^2+y^3+K1
No lado direito
integral(4x^3+1),dx =integral4x^3,dx+integral1,dx =x^4+x+K2

Passo 4

Igualando as primitivas e absorvendo K1-K2 numa constante única C, obtemos a solução geral em forma implícita:
y^3+y^2=x^4+x+C

Resposta

y^3+y^2=x^4+x+C,
onde C é a constante arbitrária determinada por qualquer condição inicial que vier a ser dada.

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