Interprete os seguintes exemplos da notação de Leibniz; cada um é uma reformulação de algum fato ocorrido em uma questão anterior.
d^k x^nd x^k=k!binomnk x^n-k

Passo 1

O enunciado pede para interpretar a notação
d^kx^ndx^k=k!binomnkx^n-k,
ou seja, estamos falando de derivadas de ordem superior. Aqui a função base é f(x)=x^n e queremos aplicar a operação “derivar em relação a x k vezes seguidas.

Passo 2

Começamos pela derivada de primeira ordem. Pela regra potência,
ddxx^n=n,x^n-1

Passo 3

Para a segunda derivada, derivamos de novo o resultado anterior:
d^2dx^2x^n =ddxl(n,x^n-1r) =n,(n-1),x^n-2

Passo 4

Continuando esse processo, cada nova derivada multiplica o coeficiente pelo próximo decrescente em n, até a k-ésima. Assim obtemos
d^kdx^kx^n =n,(n-1),(n-2)cdots(n-k+1);x^n-k

Passo 5

Reconhecemos que o produto
n,(n-1)cdots(n-k+1)
é a definição de “fatorial decrescente” e pode ser escrito como k!binomnk. Logo chega-se à fórmula geral em notação de Leibniz:
d^kx^ndx^k =k!binomnk,x^n-k

Resposta

A expressão d^kx^ndx^k significa “a derivada de ordem k da função x^n”, e o resultado desse procedimento é exatamente
k!binomnk,x^n-k

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