Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
x y^prime=y+x e^y / x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,y' = y + x,e^y/x
Este é um caso de equação homogênea (o termo à direita depende de y/x), e vamos usar a substituição
y = u(x),x
para reduzir a um problema de separação de variáveis.

Passo 2

Com y = u,x vem
dydx = u + x,dudx
Substituindo em x,y' = y + x,e^y/x obtemos
xl(u + x,tfracdudxr) = u,x + x,e^u ;;Longrightarrow;; x^2,dudx = x,e^u ;;Longrightarrow;; dudx = e^ux

Passo 3

Agora separamos as variáveis:
e^-u,du = dxx
e integramos ambos os lados:
integral e^-u,du = integral dxx ;;Longrightarrow;; -,e^-u = lnlvert xrvert + C1

Passo 4

Voltando a u = y/x, escrevemos a solução geral de forma explícita. Primeiro isolamos e^-u:
e^-u = -,lnlvert xrvert + C1
Chamando C = C1, fica
e^-y/x = C - lnlvert xrvert Long<=ftrightarrow lnlvert xrvert + e^-y/x = C

Resposta

lnlvert xrvert + e^-y/x = C,
onde C é a constante de integração.

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